---Logga in så försvinner jag!---

Meddelande

Vi planerar att uppdatera Pluggakuten. Förslag och idéer kring detta mottas tacksamt här.

Om du vill prata med andra användare (inte om uppgiftsfrågor), kan du göra det i chatten.

Att tänka på när man skapar en ny tråd:
   - Skriv tydliga rubriker där du om möjligt anger både ämne och nivå för frågan.
      Exempel: "[KE A] balansering av formel". Undvik saker som "HJÄLP!!!" och "SNÄLLA!!".
   - Visa alltid hur du har försökt. Då är det mycket enklare att hjälpa till.
   - Korsposta ej! Det är inte tillåtet att posta samma tråd flera gånger.
   - Bumpa inte din tråd mer än en gång per dygn.

Se alla regler här. Om dessa regler ignoreras kommer en varning att delas ut, som kan följas av en avstängning.

[HSM] Vektorer, kortaste avstånd mellan punkt och plan.

Bingoberra
Medlem

Offline

Registrerad: 2010-09-13
Inlägg: 3

[HSM] Vektorer, kortaste avstånd mellan punkt och plan.

Har ett plan x + y + 3z = 5 och punkten (1,-1,0) och min uppgift är att få ut kortaste avståndet mellan punkten och planet. Hur gör jag? Vad jag förstått så måste ju kortaste avståndet vara när planet är vinkelrätt mot punkten men sen står det ganska stilla sad.

 
rideg
Medlem

Offline

Registrerad: 2010-09-14
Inlägg: 14

Re: [HSM] Vektorer, kortaste avstånd mellan punkt och plan.

För att bestämma en normal till planet som skär punkten måste man tillgripa linjär algebra. Om man däremot söker det kortaste avståndet mellan planet och den givna punkten kan man bilda ett analytiskt uttryck för detta.

Om planets ekvation är x + y + 3z = 5 får man en punkt på ytan som den vektorvärda funktionen (x,y,5-x-y)/3).  Avståndet mellan denna punkt på planet och den givna punkten (1,-1,0) fås genom att tillämpa Phytagoras sats i R3, vilket ger

LaTeX ekvation

Funktionen har ett lokalt extremvärde (ett minimum kan man visa) där de partiella derivatorna med avseende på x och y är noll. Detta ger ett linjärt ekvationsystem vars lösning insatt i rot-uttrycket ger det kortaste avståndet.

Detta avstånd är LaTeX ekvation

/Rideg

Senast redigerat av rideg (2010-09-14 19:47)

 
rideg
Medlem

Offline

Registrerad: 2010-09-14
Inlägg: 14

Re: [HSM] Vektorer, kortaste avstånd mellan punkt och plan.

Förtydligande: De partiella derivatorna med avseende på x och y är

LaTeX ekvation

respektive

LaTeX ekvation

Vi behöver dock bara använda täljarna i ekvationssystemet.

/Rideg

Senast redigerat av rideg (2010-09-14 12:13)

 
albiki
Medlem

Offline

Från: Göteborg
Registrerad: 2008-05-25
Inlägg: 4679

Re: [HSM] Vektorer, kortaste avstånd mellan punkt och plan.

Bingoberra skrev:

Har ett plan x + y + 3z = 5 och punkten (1,-1,0) och min uppgift är att få ut kortaste avståndet mellan punkten och planet. Hur gör jag? Vad jag förstått så måste ju kortaste avståndet vara när planet är vinkelrätt mot punkten men sen står det ganska stilla sad.

Det kortaste avståndet mellan punkten P(1,-1,0) och planet är lika med avståndet mellan punkten P och viss punkt Q. Punkten Q ligger på linjen som går genom punkten P och som har planets normal som sin riktningsvektor; med andra ord är linjens ekvation

    LaTeX ekvation

Punkten Q ligger också i planet LaTeX ekvation, så punkten Q är samma sak som skärningspunkten mellan linjen och planet.

 
Poolpt
Gy-lärare (Ma, Fy)

Offline

Från: Malmö
Registrerad: 2007-09-27
Inlägg: 4898

Re: [HSM] Vektorer, kortaste avstånd mellan punkt och plan.

Välj en punkt i planet tex. (1,1,1). Vektorn v från denna punkt till punkten (1,-1,0) ges av

v = (1, -1, 0) - (1, 1, 1) = (0, -2, -1)                

Det sökta avståndet |s| är beloppet av projektionen av vektorn v på den till planet normerade normalvektorn e = (1, 1, 3) /sqrt(11). (Förstår du hur man får fram denna?)
Det är detsamma som att beräkna beloppet av skälärprodukten v*e.

|s| = |v*e| = | (0-2-3)/sqrt(11) | = | -5/sqrt(11) | = 5/sqrt(11)

Senast redigerat av Poolpt (2010-09-14 14:04)


If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.
 


Sidfot

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Copyright © 2006-2007 - Thomas Karlsson
 |  Denna sida använder cookies |  Kontakta oss |  Feedback |