Derivera uttrycket term för term ger   och   som ger   " multiplikation" med dx ger    " division" med dt ger Vi kan tänka oss att vi gör division och multiplikation på differenser som bildar differenskvoter som vi senare låter gå mot derivato.r
Annars precis som det står använd kedjeregeln. Derivera först med avseende på x , y sedan med avseende på t då får vi faktorerna dx/dt och dy/dt

Såhär;

Varje sida av den rätvinkliga triangeln som vi bildar kan betraktas som en funktion av tiden. Du inser ju att då tiden sätts igång, då vi sätter på klockan, så börjar saker och ting hända med stegen (eller i det här fallet triangeln) då tiden fortgår, eller hur?

Så, vi får väl anta att varje sidas längd i triangeln är en funktion av tiden. Vi betecknar kateterna som och . Hypotenusan betecknar vi med . som som vi skriver inom parentesen är helt enkelt ett sätt att ange vilken variabel funktion beror av och vi väljer lämpligen som står för tiden. Det är precis som när vi skriver .

Alright, så vad finns det för samband alla dessa funktioner emellan? Jo, Pythagoras sats relaterar alla funktioner med varandra. Om vi använder Pythagoras sats för vår triangel där kateterna är och och hypotenusan är , så kan vi skriva

     

Nu får vi uppmärksamma vårt angivna scenario—vi får veta att punkt A glider horisontellt med hastigheten 0.6 m/s, och som följd av detta börjar också punkt B glida nedåt. Vi kan åskådliggöra det såhär:

     

Faktumet att punkt A rör sig med en viss hastighet, medför ju att längden på kommer att ändras med tiden, eller hur? Och förändringar och förändringshastigheter behandlas med derivator. Vi har blivit givna med vilken hastighet förändras—vi har alltså derivatan av given. Alltså vet vi att

     

Det vi söker då är hastigheten med vilken ändras just då längden av är —vi söker alltså derivatan av då . Vi vill alltså bestämma .

Innan vi faktiskt börjar derivera, så måste vi beakta vad som händer med hypotenusan då tiden fortgår. Ställ dig frågan—kommer dess längd att förändras då klockan sätts igång? Det är ju längden av stegen som är hypotenusan, varför skulle stegen bli kortare/längre med tiden? Det är inte rimligt, så du inser att hypotenusan inte ändras med tiden—den är konstant.

Och då kan vi säga att funktionen , som beskriver stegens längd med tiden, är konstant. Och en funktion som är konstant, har ingen derivata. Derivata är ju hur snabbt något ändras, men eftersom längden på stegen inte rimligen ändras, så har den ingen derivata d.v.s. dess derivata är noll. Vi kan skriva

     .

Nu deriverar vi vår funktion.

     

Kedjeregeln måste användas för varje term, eftersom vi har sammansatta funktioner—en funktion i en funktion. Du vet hur det går till—inre derivatan multiplicerat med yttre derivatan. Exempelvis blir då derivatan av

     

Så, om vi deriverar vår funktionen med avseende på tiden enligt kedjeregeln, så kan du övertyga dig om att vi får då

     

Nu ersätter du helt enkelt med tidigare bestämd data, nämligen

     

Sätt in, så får du

     

är katetens längd just då dess derivata är 0.6. Vi har fått veta att den befinner sig 3 meter från väggen just då, alltså är . , vid samma tidpunkt, kan du räkna ut med Pythagoras sats. Hypotenusan är 5, ena kateten 3. Räkna ut den sista kateten.

     

Alltså kommer då . Sätt in i din derivata

     

Nu behöver du bara räkna ut , som är hastigheten med vilken B rör sig. Hängde du med?

Senast redigerat av HighDef (2011-11-25 15:46)

sneagel skrev:

Cred till dig för den posten HighDef.

Verkligen. Puh säger jag.

HighDef skrev:

Nu behöver du bara räkna ut , som är hastigheten med vilken B rör sig. Hängde du med?

Jo, nu förstår jag. Mycket pedagogiskt skrivet HighDef
Har bara en fundering:
Vi skriver att alla funktioner enskilt beror på tiden, går det att lösa problemet genom att notera att längden y förutom att bero på tiden också beror på längden av x, eftersom z är konstant?
Alltså y=f(x) och x=g(t)
dvs. y=f(g(t))

Hade exakt samma problem med denna uppgiften och tackar så hjärtligt för den utförliga förklaringen! Undrar bara om man kan göra så som jag gjorde från början dvs sätta upp att dy/dt=(dy/dx)*(dx/dt) och sen derivera sambandet y=rot(25-x^2) och sätta in det i kedjeregelgrejjen. och sen sätta dx/dt till 0.6 och sätta in 3 som x. Om detta funkar, hur deriverar man y=rot(25-x^2)????? jag fick det till -1/rot(25x-x^3) men det funkade uppenbarligen inte med den deriveringen iallafall...

Tack nu gick det!