Jag kan inte riktigt följa vad det är du gör när du bara rakt av sätter att och är lika med och . I det första fallet råkar detta stämma men i det andra fallet måste påståendet modifieras då det sfäriska koordinatsystemet måste skalas om i varje punkt.

Jag förutsätter att du är bekant med skalfaktorer från vektoranalysen och om utgör tre koorinater i ett ortonormalt koordinatsystem så är deras skalfaktorer och om vi gör härledningen av fältlinjens differentialekvation för ett fält med komponenter så får vi



För så är skalfaktorn så ditt samband stämmer men för har vi så din ekvation för måste modifieras med denna faktor.

Om vi gör steg motsvarande det du gjort så landar vi istället i differentialekvationen

som genom separation av variabler har lösningen   och sedan ser du att vi kommer fram till rätt svar...

Senast redigerat av SeriousSquid (2012-09-15 23:01)

Jag skulle vilja tacka och samtidigt förbanna dig över att det här problemet satte in mig på en tämligen intressant exkursion rörande fältlinjer och ortogonala linjer som åt upp nära hela den här eftermiddagen. Som ditt problem indikerar så kan alla fältlinjer till en dipol skrivas som , ellerdär är punkten där fältlinjer skär x-axeln.
Detta kan också skrivas i kartesiska koordinater som



vilket även tillåter de raka fältlinjerna. Då fick jag idén att försöka härleda ett komplett koordinatsystem där dipolfältlinjer alltid ligger längs en av koordinataxlarna. Så efter en del arbete härledde jag den kooresponderande ortogonala kurvan till

där är y-koordinaten där denna kurva skär y-axeln.


är alltså det kompletta systemet och kan inte undgå att tycka dessa kurvor blir oerhört vackra http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl … 3D+81y%5E2

Har en del arbete kvar på själva koordinatsystemet i sig, om det ens går att definiera på något vettigt sätt, då det inte är ett så bekvämt sådant men fortfarande en lite lustig sak som kom ut av det hela.

EDIT: En sidokommentar, är det någon som känner igen den andra ekvationen? Det är ju inte riktigt en dipolfältlinje (ett mer formellt namn för denna ekvation, finns det ett sådant skulle det också uppskattas) men avviker inte så mycket till utseendet.

Senast redigerat av SeriousSquid (2012-09-16 18:39)