Pluggakuten.se / Forum / Matematiska bevis / Medelvärdessatsen

albiki · 2010-03-07 19:28

Sats.
Låt $LaTeX ekvation$ vara en funktion som är kontinuerlig över ett slutet intervall $LaTeX ekvation$ och som är differentierbar över det öppna intervallet $LaTeX ekvation$
Då är funktionens medelvärde över det slutna intervallet $LaTeX ekvation$ lika med funktionens derivata, beräknad för någon punkt mellan $LaTeX ekvation$ och $LaTeX ekvation$ .

$LaTeX ekvation$

Bevis.
Låt $LaTeX ekvation$ vara en funktion som beskriver en rät linje som går genom punkten $LaTeX ekvation$ och har en lutning som är lika med medelvärdet $LaTeX ekvation$

$LaTeX ekvation$

Eftersom funktionen $LaTeX ekvation$ är kontinuerlig över det slutna intervallet $LaTeX ekvation$ och differentierbar över det öppna intervallet $LaTeX ekvation$ så är funktionen $LaTeX ekvation$ det också; funktionen $LaTeX ekvation$ antar dessutom samma värde i intervallets ändpunkter,

$LaTeX ekvation$

Tydligen uppfyller funktionen $LaTeX ekvation$ alla förutsättningar i Rolles sats, vilket innebär att det öppna intervallet $LaTeX ekvation$ innehåller en punkt, $LaTeX ekvation$ , där funktionens derivata är lika med noll.

$LaTeX ekvation$

Men

$LaTeX ekvation$

Vilket Skulle Bevisas.