"Bryr sig" funktioner om strukturen på värdemängden?

Är $f$ och $f′$ samma funktion eller olika funktioner?

Det beror så klart på definitionen man använder. Men det vanliga är nog att domän och kodomän endast är mängder. I det fallet är de samma, så länge vi pratar om mängdteoretiska funktioner och inte t.ex. homomorfier.

Det bara verkar lite konstigt att man får göra detta bara

Jag är inte helt säker på om jag förstår vad det är som känns konstigt. Operationerna $P-Q+P-Q$ och $P+Q$ är inte definierade på $\mathbb{A}$. Elementen må vara samma i $\mathbb{A}$ och $V$, men detta är väl inte konstigare än att säga t.ex. "det rationella talet 3" eller "det reella talet 3" eller "heltalet 3".

Det kanske inte är så konstigt... Det bara känns lite märkligt. Men man kanske kan göra allt lite explicit genom att skriva något i stil med nedanstående?

$\displaystyle (\mathbb{A}\times\mathbb{A},-)\ni(P,Q)\mapsto \mathbf{v}\in (V,+,\cdot)$

Är inte $(P,Q)\mapsto v$ precis det som definierar $P-Q$?

Det finns flera olika sätt att se på saken, men jag brukar tänka att ett affint rum är en trippel $(A,V,\varphi)$ där $A$ är en mängd punkter, $V$ ett vektorrum och $\varphi: A\times V\to A$ en (fri och transitiv) gruppverkan på (den additiva gruppen av) $V$. 

Med skrivsättet $a+v$ menar man då egentligen $\varphi(a,v)$, vilket vi tolkar som den punkt i $A$ vi hamnar på om vi från $a$ förflyttar oss med $v$.

Att gruppverkan är transitiv och fri innebär att det för alla $a,b\in A$ finns ett unikt $v\in V$ som tar $a$ till $b$, dvs. sådant att $a+v=b$. Vi kan beteckna detta $v$ med $b-a$. Notera dock att detta inte är någon subtraktion i $A$, utan ett element i $V$. Eftersom detta $v$ är unikt för varje par $a,b$ så har vi en funktion $A\times A\to V$ given av $(a,b)\mapsto b-a$. Detta är alltså inte en operation på $A$.

Mycket av detta blir lite förvirrande när både $A=\mathbb{R}^n$ och $V=\mathbb{R}^n$. Teoretiskt är det inga problem, men det blir svårare att hålla det affina rummet och vektorrummet separerade i sina resonemang eller tankegångar.

Jag tror att mitt problem kan summeras kokas ned till frågan,

"Låt $\mathbb{A}=V=\mathbb{R}^3$. Om någon skriver t.ex. (1,2,3) + (1,2,3), hur ska man veta om detta är definierat eller inte (vi vet ju inte om elementen kommer från $V$ eller $\mathbb A$ eller båda)?"

Men detta problem är ju inte unikt på något sätt för affina rum egentligen. Om någon ger oss två reella tal $3$ och $5$ går det ju inte att veta huruvida $3+5$ är definierat eller inte utan att personen som ger oss talen berätter om vilken struktur han har utrustat mängden med; vi förstår att det är tillåtet endast genom konvention. Och det är väl egentligen samma situation här.

Om någon skriver $(1,2,3)+(1,2,3)$ så får man väl bara anta att de menar vektorer, eftersom det i annat fall inte betyder något. I denna situation finns det bara en betydelse för +, nämligen vektorrummets addition. I andra fall framgår det ofta av sammanhanget vad som syftas på.

Vill man vara explicit kan man ju alltid tillägga att $(1,2,3)\in V$, men det brukar i princip alltid vara underförstått. 

I till exempel linjär algebra kan man ibland skriva med vad som avses med en tupel 

Om vi har en vektor $v$ och $B$ är en bas för $V$ kan man skriva 

$[v]_B=(c_1,c_2,\dots,c_n)$

Med det avser man då

$v=c_1b_1+c_2b_2+\dots+c_nb_n$

En vektor kan ha olika komponenter i sin tupel, men fortfarande avse exakt samma vektor, dvs trots att $[v]_B\neq [v]_C$ menar vi i geometrisk betydelse samma vektor.

Det finns ingen “naturlig bas” i ett abstrakt vektorrum utan extra struktur. En bas är ett val som inducerar en koordinatisomorfism mellan vektorrummet och $\mathbb{R}^n$. 

Skriver man inte ut någon bas avses i regel den inducerade basen som i sin tur ges av koordinatfunktionerna. 

Om vi är rigorösa definieras en funktion bland annat av sin definitionsmängd och värdemängd (mängdteoretiskt är det en binär relation). Strikt  får man inte skriva (..)+(...) utan att ha definierat "+", där mängderna anges fullständigt. Man får egentligen inte anta $(\mathbb{R}^3,+)$ utan att det tydligt framgår av sammanhanget.  Vi gör alltså många (geometriska) antaganden implicit när vi säger "(1,2,3) + (1,2,3)", och hoppas att det avser en addition av två "vektorer" från några mängder som dessutom ska ha någon sorts geometrisk (dvs invariant) mening.

Standardmodellen för det euklidiska rummet $E_3$ är inte kanonisk, vi måste välja ett origo $O\in E_3$. Först då får vi en affin isomorfism

$\varphi_O: E_3 \cong \mathbb{R}^3,\quad p \mapsto \overrightarrow{Op}$

En euklidisk vektor $v\in\mathbb{R}^3$ representerar bara en translation i $E_3$

Jag tror det är bra att redan från början se det euklidiska rummet $E_3$​ som en torsor över ett vektorrum $V$. Varje val av punkt $O\in E_3$ ger en isomorfism $E_3\cong V$, vilket motsvarar ett koordinatsystem. Detta är analogt med hur varje punkt på en differentierbar mångfald har ett tangentrum $T_p​M$, där tensorer och differentialformer naturligt lever. Får man in den intuitionen i ryggraden får man mycket gratis när man går vidare.

och hoppas att det avser en addition av två "vektorer" från några mängder som dessutom ska ha någon sorts geometrisk (dvs invariant) mening.

Nja, det behöver inte finnas någon geometrisk mening. Det behövs bara att additionen är definierad. I matematiken brukar element ur vektorrum kallas för vektorer även om de inte är geometriska.

Visst, en vektor är en vektor och en tupel kan representera ett vektorelement i vissa sammanhang. Men med risk att den här tråden blir en återupprepning av en annan tråd; en punkt och en vektor är inte samma sak i det sammanhang jag tror naytte menar.

Vi pratar alltså om geometriska vektorer (som är extra fina vektorer) samt punkter som geometriska objekt. Med “geometriska vektorer” avses här vektorer som representerar translationsinvarianta storheter i geometrin, till skillnad från punkter som representerar positioner i ett affint rum.

I just den här modellen lever alltså punkter i ett affint rum och vektorer i ett associerat vektorrum. Orsaken till att vi inför ett sådan system är att vi strävar efter ett synsätt där geometriska relationer blir translationsinvarianta samtidigt som punkterna bibehåller sin geometriska innebörd.

Tanken är att punkter modellerar geometriska objekt, oberoende av koordinatsystem. Det kan till exempel vara punkter i fysisk rumslig geometri. Samma geometriska punktmängd kan beskrivas i olika koordinatsystem (t.ex. polära och kartesiska), men detta förändrar inte de underliggande punkterna, endast deras koordinatrepresentation (tupel av komponenter). 

När man väljer ett koordinatsystem motsvarar detta en vald bas (och i affina rum även ett origo), vilket ger komponenterna i tupeln som koordinatrepresentation av vektorer respektive punkter. Det är därför något överförenklat (tycker jag) att identifiera alla listor av tal man stöter på med vektorer i en geometrisk kontext, eftersom en sådan identifikation förutsätter val av koordinatsystem (bas och eventuellt origo). Det skapar också pedagogiska svårigheter, vilket denna och andra trådar ger prov på.

En geometrisk vektor i $V$ (t.ex. $p−q$ i ett affint rum $E_3$​) är sedan ett koordinatoberoende objekt vars representation i form av komponenter beror på valt koordinatsystem, men vars underliggande geometriska identitet bevaras vid alla affina koordinatbyten. Detta motsvarar precis ett objekt som transformerar kontravariant och kan därför identifieras med en första ordningens tensor av typen $(1,0)$ i affin tensoralgebra (man säger att komponenterna i tupeln transformerar kontravariant).

Angående #7: vad betyder det att en isomorfi är affin?

I övrigt tror jag att jag är med på resonemanget och kan nog köpa det. Om vi väljer ett origo till vårt affina rum, gör vi då i princip om det till ett vektorrum?

Jag hade tidigare tänkt att den enkla analytiska geometrin man gör på gymansiet är "euklidisk" men ett affint rum med en metrik är väl då det som faktiskt motsvarar ett euklidiskt rum?

I ett eukilidiskt rum måste metriken komma från en inre produkt (” skalärprodukt”) så vilken metrik som helst duger inte.

Vi pratar alltså om geometriska vektorer (som är extra fina vektorer) samt punkter som geometriska objekt.

Ja, eller du gör det i varje fall. I min värld går det utmärkt att betrakta $\mathbb{R}^3$ som ett vektorrum och ett affint rum över sig självt, där tupler både kan ses som punkter och som vektorer. 

vad betyder det att en isomorfi är affin?

Kort sagt kan man säga att en affin funktion är som en linjär funktion plus en translation. En linjär funktion mellan vektorrum måste bevara origo, och ser (efter val av bas) ut som $v\mapsto Av$ för någon matris $A$ (om vi begränsar oss till ändligtdimensionella vektorrum). En affin funktion ser istället ut som $v\mapsto Av+b$ för någon matris $A$ och vektor $b$. Alla linjära funktioner är alltså affina, men t.ex. translationer är affina men inte linjära.

Du kan läsa mer om det här.