Visningar

Binomialsatsen

Pluggakuten

I grundskolan får man lära sig kvadreringsregeln

$LaTex: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,$

där a och b är vilka (reella) tal som helst. Det kan också hända att man får lära sig kuberingsregeln

$LaTex: (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b+3ab^2+b^3.$

Kvadreringsregeln och kuberingsregeln är specialfall av den så kallade binomialsatsen, som talar om vad $LaTex: (a+b)^n$ är då n är ett positivt heltal vilket som helst; då n = 2 blir binomialsatsen kvadreringsregeln och då n = 3 blir binomialsatsen kuberingsregeln.

Binomialsatsen

Om a och b är två tal, som inte är lika med noll, och n är ett positivt heltal så kan man skriva binomet (a+b)ⁿ på följande sätt. $LaTex: (a+b)^n = \left( 1\right) \cdot a^nb^0 + \left( \frac{n}{1} \right) \, a^{n-1}b^1 + \left( \frac{n \cdot (n-1)}{1 \cdot 2} \right) \, a^{n-2}b^2 + \left( \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} \right) \, a^{n-3}b^3 +$

$LaTex: +\left( \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \right) \, a^{n-4}b^4 + \cdots + \left( \frac{n\cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (n-2) \cdot (n-1) \cdot n} \right) \, a^{0}b^n.$

Man har infört en speciell beteckning för bråken inom parenteserna ovan:

$LaTex: 1 = {n \choose 0},\\ \frac{n}{1} = {n \choose 1}, \\ \frac{n \cdot (n-1)}{1 \cdot 2} = {n \choose 2}, \\ \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} = {n \choose 3}, \\ \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = {n \choose 4}, \\ \quad \quad \vdots \\ \left( \frac{n\cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot \cdots \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdots \cdot (n-3) \cdot (n-2) \cdot (n-1) \cdot n} \right) = {n \choose n}.$

Om k är ett heltal mellan 0 och heltalet n, så kallas beteckningen

$LaTex: {n \choose k}$

binomialkoefficient och uttalas "n över k". Med denna beteckning kan Binomialsatsen skrivas på ett sätt som är litet mer kortfattat och som visar satsens struktur litet tydligare.

$LaTex: (a+b)^n = {n \choose 0} a^nb^0 + {n \choose 1} \, a^{n-1}b^1 + {n \choose 2} \, a^{n-2}b^2 + {n \choose 3} \, a^{n-3}b^3 + \cdots + {n \choose n} \, a^{0}b^n .$

Bevis av Binomialsatsen

Vi ska visa att för vilka tal a och b som helst, som inte är lika med noll, så gäller det att

$LaTex: (a+b)^n = {n \choose 0} a^nb^0 + {n \choose 1} \, a^{n-1}b^1 + {n \choose 2} \, a^{n-2}b^2 + \cdots + {n \choose n} \, a^{0}b^n$

oavsett vilket positivt heltal n vi än väljer.

Idén bakom beviset är följande: Om vi kan visa att Binomialsatsen är sann då n = 1 och att den är sann för nästa positiva heltal n, så är den sann för alla positiva heltal n.

Bevisets första steg: Visa att Binomialsatsen är sann då n = 1. Vi ska visa att

$LaTex: (a+b)^1 = {1 \choose 0} a^1 b^0 + {1 \choose 1} a^0b^1.$

Det vänstra ledet är (a+b)¹=a+b och det högra ledet är

$LaTex: {1 \choose 0} a^1 b^0 + {1 \choose 1} a^0b^1 = (1) \cdot a + (1) \cdot b = a + b.$

Vi ser att det vänstra ledet är lika med det högra ledet, varför Binomialsatsen är sann för exponenten n = 1.

Bevisets andra steg: Visa att om Binomialsatsen är sann för det positiva heltalet n, så är den också sann för nästa positiva heltal, n + 1. Vi börjar med att skriva det vänstra ledet, (a+b)ⁿ⁺¹, på en form som gör att vi kan använda vår kunskap om att Binomialsatsen är sann för det positiva heltalet n.

$LaTex: (a+b)^{n+1} = (a+b) \cdot (a+b)^n.$

Vi vet dels att binomet (a+b)ⁿ kan skrivas som

$LaTex: (a+b)^n = {n \choose 0} a^nb^0 + {n \choose 1} \, a^{n-1}b^1 + {n \choose 2} \, a^{n-2}b^2 + \cdots + {n \choose n} \, a^{0}b^n$

och dels att om vi mutiplicerar denna långa summa med talet (a+b) så får vi en annan lång summa.

$LaTex: (a+b) \cdot (a+b)^n = \left\{ a \cdot (a+b)^n \right\} + \left\{ b \cdot (a+b)^n \right\} \\ = \left\{ {n \choose 0} a^{n+1}b^0 + {n \choose 1} \, a^{n}b^1 + {n \choose 2} \, a^{n-1}b^2 + \cdots + {n \choose n} \, a^{1}b^n \right\} \\ + \left\{ {n \choose 0} a^nb^1 + {n \choose 1} \, a^{n-1}b^2 + {n \choose 2} \, a^{n-2}b^3 + \cdots + {n \choose n} \, a^{0}b^{n+1} \right\}.$

Sedan samlar vi ihop termer på formen a^n+1-kb^k, där exponenten k kan vara vilket som helst av heltalen 0, 1, 2, ..., n + 1.

$LaTex: (a+b)^{n+1} = {n \choose 0}a^{n+1}b^0 + \left\{ {n \choose 1} + {n \choose 0} \right\}a^nb^1 + \left\{ {n \choose 2} + {n \choose 1} \right\}a^{n-1}b^2 + \cdots \\ \cdots + \left\{ {n \choose n} + {n \choose n-1} \right\} a^{1}b^n + {n \choose n}a^0b^{n+1}.$

Beviset av Binomialsatsen skulle vara klart om vi kunde säga att

$LaTex: {n \choose 0} = {n+1 \choose 0} \\ {n \choose 1} + {n \choose 0} = {n+1 \choose 1} \\ {n \choose 2} + {n \choose 1} = {n+1 \choose 2} \\ {n \choose 3} + {n \choose 2} = {n+1 \choose 3} \\ \vdots \\ {n \choose n} + {n \choose n-1} = {n+1 \choose n} \\ {n \choose n} = {n+1 \choose n+1}.$

Vad gäller det första och det sista av dessa uttryck så gäller

$LaTex: {m \choose 0} = 1$

och

$LaTex: {m \choose m} = 1$

för vilka positiva heltal m som helst; speciellt gäller de för de positiva heltalen n och n + 1. Det andra av uttrycken i listan är

$LaTex: {n \choose 1} + {n \choose 0} = n+1 = {n+1 \choose 1}.$

Det tredje uttrycket i listan är

$LaTex: {n \choose 2} + {n \choose 1} = \frac{n \cdot (n-1)}{1 \cdot 2} + \frac{n}{1} = \frac{n}{1} \cdot \left( \frac{n-1}{2} + 1 \right) = \frac{n}{1} \cdot \frac{n+1}{2} = {n+1 \choose 2}.$

Det fjärde uttrycket i listan är

$LaTex: {n \choose 3} + {n \choose 2} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3 } + \frac{n\cdot (n-1)}{1 \cdot 2} = \frac{n \cdot (n-1)}{1 \cdot 2} \cdot \left( \frac{n-2}{3} + 1 \right) = \frac{n \cdot (n-1)}{1 \cdot 2} \cdot \frac{n+1}{3} = {n+1 \choose 3}.$

$LaTex: \vdots$

Av dessa uträkningar kan vi se ett mönster som låter oss beräkna det (k-1):a uttrycket i listan, där k är vilket som helst positivt heltal bland heltalen 1, 2, 3, ..., n.

$LaTex: {n \choose k} + {n \choose k-1} = {n \choose k-1} \cdot \left( \frac{n-(k-1)}{k} + 1\right) = {n \choose k-1} \cdot \frac{n+1}{k} = {n+1 \choose k};$

mönstret som bildas kallas Pascals triangel.

Detta innebär att vi har lyckats bevisa att om Binomialsatsen är sann för det positiva heltalet n, så är den också sann för nästa positiva heltal n + 1; därmed är Binomialsatsen sann för vilket positivt heltal n som helst.

Vilket skulle bevisas!

Den här artikeln är hämtad från http://www.pluggakuten.se/wiki/index.php?title=Binomialsatsen

Kategori: Matematik

Visningar

Binomialsatsen

Pluggakuten

Binomialsatsen

Bevis av Binomialsatsen

Navigering

Sök

Verktygslåda