Visningar

Derivata

Pluggakuten

Begreppet derivata är matematikens sätt att beskriva förändring.

Om derivatan är ett positivt tal så betyder det att det som förändras växer; om derivatan är ett negativt tal så betyder det att det som förändras minskar; om derivatan är lika med talet noll, så betyder det att det inte sker någon förändring.

Exempel

Varje dag får jag en (1) krona av dig.

Min sammanlagda förmögenhet förändras från dag till dag; eftersom den växer är derivatan av min förmögenhet ett positivt tal; eftersom min förmögenhet växer med en (1) krona från dag till dag, är derivatan lika med talet 1.

Din sammanlagda förmögenhet förändras också från dag till dag; eftersom den minskar är derivatan av din förmögenhet ett negativt tal; eftersom din förmögenhet minskar med en (1) krona från dag till dag, är derivatan lika med talet -1.

Vår sammanlagda förmögenhet förändras inte från dag till dag; derivatan av vår sammanlagda förmögenhet är lika med talet 0.

Derivata av en funktion

På matematiska kan min förmögenhet $LaTex: m(t)$ vid dag $LaTex: t$ skrivas som funktionen

$LaTex: m(t) = m(0) + 1 \cdot t$ ;

från början är min förmögenhet $LaTex: m(0)$ kronor.

Din förmögenhet vid dag $LaTex: t$ kan skrivas på matematiska som funktionen

$LaTex: y(t) = y(0) + (-1) \cdot t$ ;

från början är din förmögenhet $LaTex: y(0)$ kronor.

Vår sammanlagda förmögenhet vid dag t kan skrivas på matematiska som

$LaTex: v(t) = m(t) + y(t) = m(0) + t + y(0) - t = m(0) + y(0)$ ;

varje dag är vår sammanlagda förmögenhet oförändrad, lika med $LaTex: m(0)+y(0)$ kronor.

Från dag $LaTex: t$ till nästa dag, $LaTex: t+1$ , har min förmögenhet förändrats med $LaTex: m(t+1) - m(t)$ kronor;

$LaTex: m(t+1)-m(t) = (m(0) + 1 \cdot (t+1)) - ( m(0) + 1\cdot t) = 1$ krona.

Min förmögenhet växer från dag till dag, eftersom beräkningen visar att

$LaTex: m(t+1) = 1 + m(t)$ .

Derivatan av funktionen $LaTex: m(t)$ är en funktion, betecknad $LaTex: m^\prime(t)$ , som talar om hur funktionen $LaTex: m(t)$ förändras från ögonblick till ögonblick; derivatan talar om hur stor förändringen är i ett givet ögonblick:

$LaTex: m^\prime(t) = \lim_{h \to 0} \frac{m(t+h)-m(t)}{(t+h) - t}$ ;

gränsvärdes-symbolen $LaTex: \lim_{h \to 0}$ används för att räkna ut den ögonblickliga förändringen. Om man beräknar derivatan $LaTex: m^\prime(t)$ får man funktionen

$LaTex: m^\prime(t) = \lim_{h \to 0} \frac{(m(0) + (t+h)) - (m(0) + t)}{(t+h) - t} = \lim_{h \to 0} \frac{(t+h) - t}{(t+h)-t} = \lim_{h \to 0} 1 = 1$ .

Den här artikeln är hämtad från http://www.pluggakuten.se/wiki/index.php?title=Derivata

Kategori: Matematik

Visningar

Derivata

Pluggakuten

Exempel

Derivata av en funktion

Navigering

Sök

Verktygslåda