Visningar

Konjugatregeln

Pluggakuten

Konjugatregeln är en matematisk räkneregel som säger att om $LaTex: a$ och $LaTex: b$ är två tal, så är differensen av deras kvadrater, $LaTex: a^2 - b^2,$ lika med produkten

$LaTex: a^2 - b^2 = (a - b) \cdot (a + b)$ .

Exempel

Varje udda tal kan skrivas som en differens,

$LaTex: a^2 - b^2$ , där $LaTex: a$ och $LaTex: b$ är två heltal som ligger intill varandra.

Två exempel som illustrerar påståendet är talen 7 och 11 (som också är exempel på primtal):

$LaTex: 7 = 4^2 - 3^2$

$LaTex: 11 = 6^2 - 5^2$

Konjugatregeln visar varför påståendet är sant för varje udda tal man än väljer.

De två heltalen $LaTex: a$ och $LaTex: b$ ska ligga intill varandra, vilket betyder att $LaTex: a = b + 1$ . Med konjugatregelns hjälp kan vi skriva differensen $LaTex: a^2 - b^2$ som

$LaTex: (b+1)^2 - b^2 = \left( (b + 1) - b \right) \cdot \left( (b + 1) + b \right) = \underbrace{2b + 1}_{\text{ Ett udda tal }}$

Ett annat påstående som är en direkt konsekvens av konjugatregeln är följande.

Om $LaTex: n$ är ett heltal, vilket som helst, så är differensen $LaTex: n^2 - (n-2)^2$ delbar med talet 4 och med talet $LaTex: n-1$ .

Två exempel:

$LaTex: 4^2 - 2^2 = 12$ , och 12 är delbart med 4 och 3.

$LaTex: 7^2-5^2 = 24$ , och 24 är delbart med 4 och 6.

Allmän konjugatregel

Om $LaTex: a$ och $LaTex: b$ är två tal och $LaTex: n$ ett positivt heltal, så kan differensen av talens n-potenser, $LaTex: a^n - b^n,$ skrivas som produkten