M4) Trig. ekvationer, varför fel?

Vi hamnar någonstans mitt i din lösning av något. Kan du lägga upp utsprungsproblemet? 

Problemet är att lösa ekvationen sin²(x)=cos²(x).

Tillägg: 16 maj 2024 13:22

(Man får inte använda några digitala hjälpmedel för att lösa uppgiften.)

Ju fler omskrivningar desto större risk för retfulla räknefel. Här ett något tydligare förslag med konjugatregeln.

sin²x=cos²x <==> sin² x-cos²x=0 <==> (sin x+cos x)(sin x -cos x)=0 Nollproduktregeln ger två ekvationer. Ännu enklare är att ta kvadratroten ur båda leden i ursprungsekv och få samma resultat: sin x =+/- cos x. Kommer du vidare därifrån?

Tack för svaret Tomten. 

Om man tar rotenur av båda led, då måste man få ett x-värde för vilket sin(x)=cos(x) och det enda är ju pi/4, och 5pi/4: stämmer det?, dvs. pi/4 + n·pi.

Mesopotamia skrev:

Var i min omskrivning blir det fel?

Problemet är nog att du blandar ihop ekvationer och funktioner.

Ekvationerna sin²(x) = cos²(x) och cos(2x) = 0 har samma lösningsmängder, vilket du har visat och vilket även Geogebra visar.

Men det betyder inte att funktionerna f(x) = sin²(x)-cos²(x) och g(x) = cos(2x) är identiska.

Jaha, det har jag aldrig stött på.

Kan du snälla förklara mer?

Mesopotamia skrev:

Jaha, det har jag aldrig stött på.

Kan du snälla förklara mer?

Säg att vi har en funktion h(x) och att vi med den sätter upp en ekvation h(x) = 0.

Dvs vi letar efter nollställen till funktionen.

om vi nu subtraherar h(x) från båda sidor av ekvationen (alternativt multiplicerar hela ekvationen med -1) så får vi 0 = -h(x).

Denna ekvation har självfallet samma lösningsmängd som den ursprungliga ekvationen.

Dvs h(x) = 0 har samma lösningar som -h(x) = 0.

Men det betyder ju inte att h(x) = -h(x).

Tack för svar Yngve. Då är jag med på vad du menar. 

Men har jag svarat rätt?, se inlägg #5?

Mesopotamia skrev:

Tack för svar Yngve. Då är jag med på vad du menar. 

Men har jag svarat rätt?, se inlägg #5?

Nej, du glömmer $\pm$ och tappar därmed bort hälften av lösningarna.

Om du följer tipset från Tomten i svar #4 så kommer du fram till de två ekvationerna

• $\sin(x)=\cos(x)$, med lösningar $x=\frac{\pi}{4}+n\pi$
• $\sin(x)=-\cos(x)$, med lösningar $x=\frac{3\pi}{4}+n\pi$

Sammantaget ger det lösningsmängden $x=\frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}$

Då förstår jag.

Tack Yngve för hjälpen.