Analys: något om att derivator är "känsligare" än integraler

Ett belägg vore en funktion med en tvärt 'hörn' i punkten  tex  abs(x) i noll  ?

Jag har för mig att detta togs upp i någon kurs jag läste. Där var exemplet (ungefär, jag minns inte exakt) att två funktioner, f(x) och g(x), beror av en tredje funktion, h(x), på följande sätt: 

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)={\int }_a^{x}h\left(t\right) dt\\ g\left(x\right)=\frac{d}{dx}h\left(x\right)\end{array}\right.$

(där a ligger i närheten av x)

Om vår funktion $h(x)$ nu är exempelvis $h\left(x\right)=x^3-7x^2+5$ och vi börjar i x = 0, kommer även en mycket liten förflyttning att förändra värdet av $g(x)$ ganska dramatiskt, medan värdet av $f(x)$ förändras långsammare. I princip beror det väl på att derivatan per definition endast tar hänsyn till en punkt, medan integralen måste ta hänsyn till många punkter. 

Inte direkt ett bevis för påståendet, men ett litet exempel som kanske hjälper dig att hitta rätt. :)

Du kan lägga till en störning av typen $ϵ\cos \left(2\pi ft\right)$. Om f är förhållandevis stort så bidrar störningen inte till integralen i någon större utsträckning, men derivatan kan ju definitivt få ett icke försumbart bidrag i enskilda punkter.

I princip beror det väl på att derivatan per definition endast tar hänsyn till en punkt, medan integralen måste ta hänsyn till många punkter. 

Ja, det här!

Patenteramera: ja!