Andra derivata

Vad får du förstaderivatan till?

Har du provat att derivera

$\ln y$ två gånger?

dx/dy = $\frac{1}{1+x^2}$

Men vet inte hur jag ska göra när det är en exponential funktion. Kedjeregel?

Huerekaman skrev:

dx/dy = $\frac{1}{1+x^2}$

Men vet inte hur jag ska göra när det är en exponential funktion. Kedjeregel?

dy/dx menar du nog. Inte exponentiell, det står bara en konstant i exponenten. Kedjeregeln låter bra.

Huerekaman skrev:

dx/dy = $\frac{1}{1+x^2}$

Men vet inte hur jag ska göra när det är en exponential funktion. Kedjeregel?

Du menar nog att den inre derivatan är $\frac{1}{1+x^2}$, vilket är korrekt.

Men det är inte lika med förstaderivatan.

Som sagt, använd kedjeregeln ett steg i taget så går det nog bra.

$$\begin{gathered} \frac{d\left(g\right)}{d\left(x\right)}=\frac{1}{1+x^2} \\ y=g^3 \frac{d\left(y\right)}{d\left(g\right)}=3g^2=3(arc\tan x{)}^2 \\ \frac{d\left(y\right)}{d\left(x\right)}=3(arc\tan x{)}^2\times \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 1+x^2}} \end{gathered}$$

Såhär eller? Sen skulle det deriveras två gånger tydligen, gör jag lika igen då fast med produktregel? 

Huerekaman skrev:

$$\begin{gathered} \frac{d\left(g\right)}{d\left(x\right)}=\frac{1}{1+x^2} \\ y=g^3 \frac{d\left(y\right)}{d\left(g\right)}=3g^2=3(arc\tan x{)}^2 \\ \frac{d\left(y\right)}{d\left(x\right)}=3(arc\tan x{)}^2\times \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 1+x^2}} \end{gathered}$$

Såhär eller? Sen skulle det deriveras två gånger tydligen, gör jag lika igen då fast med produktregel? 

Det tog ett tag innan jag förstod att mittenraden består av två delar. Det ser rätt ut.

Derivera nu igen, med hjälp av produktregeln.

Derivatan av första faktorn får du genom att använda kedjeregeln igen.

$\ln y = \ln {(\arctan x)^3}=3\ln {(\arctan x)}$

Derivera båda led med avseende på $x$

$\frac{y'}{y}=3\cdot \frac{1}{\arctan x} \cdot \frac{1}{1+x^2}$

...

Alternativ med implicit derivering.

$y=(\arctan x)^3$

$y^{1/3}=\arctan x$

$\tan (y^{1/3})=x$

Derivera båda leden med avseende på $x$

$(1+\tan^2 (y^{1/3}))\cdot \frac{1}{3}\cdot y^{-2/3}\cdot y'=1$

...

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=3(arc\tan x{)}^2\times \frac{-2x}{{(1+x^2)}^2}+6(arc\tan x)\times \frac{1}{1+x^2}$

Stämmer detta?

Huerekaman skrev:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=3(arc\tan x{)}^2\times \frac{-2x}{{(1+x^2)}^2}+6(arc\tan x)\times \frac{1}{1+x^2}$

Stämmer detta?

nästan

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=3(arc\tan x{)}^2·\frac{1}{1+x^2} \\ \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}\left[3(arc\tan x{)}^2·\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 1+x^2}}\right] \end{gathered}$$ och använd produkt regeln eller vad den nu heter. $f\left(x\right)=h\left(x\right)·g\left(x\right) \Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=h\text{'}\left(x\right)·g\left(x\right)+h\left(x\right)·g\text{'}\left(x\right)$

alltså $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=6\left(arc\tan x\right)·\frac{1}{1+x^2}·\frac{1}{1+x^2}-\frac{2x·3(arc\tan x{)}^2}{{(1+x^2)}^2}=\frac{6\left(arc\tan x\right)-6x(arc\tan x{)}^2}{{\left(1+x^2\right)}^2}$

tomast80 skrev:

Alternativ med implicit derivering.

$y=(\arctan x)^3$

$y^{1/3}=\arctan x$

$\tan (y^{1/3})=x$

Derivera båda leden med avseende på $x$

$(1+\tan^2 (y^{1/3}))\cdot \frac{1}{3}\cdot y^{-2/3}\cdot y'=1$

...