Antal reella och icke-reella rötter

Det finns bara två vinklar i komplexa talplanet som ger reell rot:

$\arg z_i=0$ respektive $\arg z_i = \pi$

Och lösningarna är jämnt spridna över vinkelintervallet $[0,2\pi]$.

tomast80 skrev:

Det finns bara två vinklar i komplexa talplanet som ger reell rot:

$\arg z_i=0$ respektive $\arg z_i = \pi$

Och lösningarna är jämnt spridna över vinkelintervallet $[0,2\pi]$.

Hur vet jag att roten är reell ?

I a) inser jag att 2^4 = -2^4 = 2i^4 = -2i^4 vilket ger 2 reela och 2 icke reela. 

Men när gradtalen stiger har jag svårt att inse detta

Rita, åtminstone i tanken! Alla rötterna ligger på en cirkel med centrum i origo. Hur många rötter kan vara reella som mest?

Smaragdalena skrev:

Rita, åtminstone i tanken! Alla rötterna ligger på en cirkel med centrum i origo. Hur många rötter kan vara reella som mest?

Som mest kan det bli två reella rötter.

Jag kan resonera mig fram till att det även i b) måste finnas två lösningar i cirkeln med argumentet 0 och 180 eftersom det är upphöjt med ett udda tal, dvs ${\left(\sqrt[5]{32}·i\right)}^5=32i \ne 32$

Men får problem att "se" att det även hamnar två punkter med dessa argument i c och d.

c) Ekvationen z⁹=-4 kommer att ha 9 lösningar jämnt fördelade på en cirkel med centrum i origo. Då komer högst en av lösningarna att vara reell. Det finns ett reellt negativt tal som är sådant att z⁹=-4, nämligen talet $z=-4^{\frac{1}{9}}$. Alltså har ekvationen en reell lösning.

Kan du på ett liknande sätt resomera dig fram till att ekvationen z¹⁰⁰=1000 har två reella lösningar?

Smaragdalena skrev:

c) Ekvationen z⁹=-4 kommer att ha 9 lösningar jämnt fördelade på en cirkel med centrum i origo. Då komer högst en av lösningarna att vara reell. Det finns ett reellt negativt tal som är sådant att z⁹=-4, nämligen talet $z=-4^{\frac{1}{9}}$. Alltså har ekvationen en reell lösning.

Kan du på ett liknande sätt resomera dig fram till att ekvationen z¹⁰⁰=1000 har två reella lösningar?

Ahaaaa , jag har hela tiden trott att samma regler gäller för 3:e, 4:e, 5:e-roten som för roten ur, dvs fungerar inte på reella negativa tal, så är det altså inte ? 

Om det inte är så, så är $\sqrt[100]{1000} = \pm ett reelt tal$, dvs 2 reela lösningar, samt 98 icke reela. 

Eller använder man bara $\pm$ vid roten ur, tänker på att du endast fick en lösning ? 

Tänk på att $(-2)^3=-8$ exempelvis, och att en andragradsfunktion alltid har två rötter, en tredjegradsfunktion tre rötter, en fjärdegradare fyra rötter och så vidare.

$sqrt4=2$ men ekvationen$x^2=4$ har lösningarna $x=\pm2$ - "roten ur" är "det positiva tal som...".

Svarade jag på rätt fråga nu?

Smaragdalena skrev:

Tänk på att $(-2)^3=-8$ exempelvis, och att en andragradsfunktion alltid har två rötter, en tredjegradsfunktion tre rötter, en fjärdegradare fyra rötter och så vidare.

$sqrt4=2$ men ekvationen$x^2=4$ har lösningarna $x=\pm2$ - "roten ur" är "det positiva tal som...".

Svarade jag på rätt fråga nu?

Tror jag börjar begripa hur jag ska tackla denna, stämmer av så jag resonerar rätt.

Man kan ta fram en reell lösning för z^n = a genom att ta a^(1/n), om n är udda finns det bara en reell lösning p.g.a symetri, om n är jämt har alla lösningar även en lösning 180grader på motsatt sida av cirkeln ?

(a=alla reella tal)

Och för att det ska saknas reella lösningar måste z^n=ai ? 

Det du skriver stämmer i stort sett, men det finns fler möjliga högerled som inte ger några reella lösningar.

Smaragdalena skrev:

Det du skriver stämmer i stort sett, men det finns fler möjliga högerled som inte ger några reella lösningar.

Okej, får vara nöjd såhär , måste komma vidare i boken :)  tack !

Om du har lust får du (eller någon annan) gärna skriva in något exempel på fler möjliga HL som inte generear reella lösningar

z³=1+i

Vi kan uttrycka detta på följande lite "slarviga" sätt:

• En produkt av reella tal blir aldrig ett komplext tal.
• En produkt av komplexa tal kan bli ett reellt tal, t.ex. (1+i)(1-i) = 2.

Samma sak på ett lite mindre slarvigt sätt:

• En produkt av komplexa tal utan imaginärdelar blir alltid ett komplext tal utan imaginärdel.
• En produkt av komplexa tal med imaginärdelar kan bli ett komplext tal utan imaginärdel.