Använding av summatecken i induktionbevis

Hej!

Du vill visa att om m är ett positivt heltal så gäller det att summan

    $\sum_{k=1}^{m} (-k)^3$

är samma sak som det negativa heltalet

    $-\frac{m^2(m+1)^2}{4}\ .$

För att visa detta med ett induktionsbevis ska du gå igenom fyra stycken steg.

Steg 1: Visa att påståendet är sant när $m=1.$

Steg 2: Anta att påståendet är sant för ett positivt heltal, $n$.

Steg 3: Visa att påståendet är sant för nästa positiva heltal, $n+1$.

Steg 4: Enligt Induktionsaxiomet är påståendet sant för alla positiva heltal.

Albiki

Steg 1: Är påståendet sant när $m=1$?

I detta fall är summan lika med

    $\displaystyle \sum_{k=1}^{1} (-k)^3 = (-1)^3 = -1$

och kvoten är lika med

    $\displaystyle -\frac{1^2\cdot 2^2}{4} = -\frac{4}{4} = -1.$

Påståendet är alltså sant när $m=1\ .$

Albiki

 Steg 2: Anta att summan

    $\displaystyle (-1)^3 + (-2)^3 + \cdots + (-n)^3$

är samma sak som det negativa heltalet

    $-\frac{n^2(n+1)^2}{4}\ .$

Steg 3: Studera summan

    $\displaystyle (-1)^3+(-2)^3 + \cdots + (-n)^3 + \{-(n+1)\}^3$.

Från Steg 2 vet du att denna summa kan skrivas som

    $\displaystyle -\frac{n^2(n+1)^2}{4} - (n+1)^3$.

Bryt ut den gemensamma faktorn $-\frac{(n+1)^2}{4}$ från detta uttryck. Det ger dig

    $-\frac{(n+1)^2}{4} \cdot \{n^2 + 4(n+1)\}\ .$

Med hjälp av Kvadreringsregeln $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ kan du skriva uttrycket som

    $\displaystyle -\frac{(n+1)^2}{4} \cdot (n+2)^2 = -\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\ .$

Summan $(-1)^3+(-2)^3 + \cdots + (-n)^3 + (-(n+1))^3$ är alltså samma sak som det negativa heltalet $-\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\ .$

Om påståendet är sant för ett positivt heltal ($n$) så är påståendet tydligen sant för nästa heltal ($n+1$).

Du har inte gjort bassteget, samt att det låter som att i induktionsantagandet så antar du att m = n, det man ska anta är att likheten gäller för m = n.

Steget efter induktionsantagandet är väldigt konstigt. När du skriver en likhet på det där sättet så säger du att den är sann, problemet är att det är den likheten du ska bevisa är sann, så det blir konstigt att skriva sådär. Skippa att skriva HL och istället fortsätter du manipulera VL tills du når ett uttryck som är HL. Albiki visade hur man kan göra det på ett smidigt sätt.

Tack båda för hjälpen.