15 svar

351 visningar

Pompan är nöjd med hjälpen

Approximation av e mha logaritmer

Visa att $2 < e < 4$ genom att sätta $x = 2$ i olikheterna $\frac{x - 1}{x} < \ln x < x - 1$ för $x > 0, x \neq 1$ och använda sambandet $\ln e = 1$

Börjar med att visa att $e > 2$ genom att göra precis som man är uppmanad:

$x = 2 : \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2} < \ln 2 < 2 - 1 = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} < \ln 2 < 1 \Leftrightarrow e^{\frac{1}{2}} < e^{\ln 2} < e^{1} \Leftrightarrow \sqrt{e} < 2 < e$

Sen tänkte jag att man kunde visa att $e < 4$ på samma vis som innan fast med x = 4. Här verkar jag dock inte se någon lösning.

$x = 4 : \frac{4 - 1}{4} = \frac{3}{4} < \ln 4 < 4 - 1 = 3 \Leftrightarrow e^{\frac{3}{4}} < e^{\ln 4} = 4 < e^{3}$

Är det möjligtvis rätt lösningsmetodik, eller bör jag prova annat?

$\sqrt{e} < 2 \Rightarrow e < 2^2$

Kvadrering på olikheter är också en metod.

SeriousCephalopod skrev:
$\sqrt{e} < 2 \Rightarrow e < 2^2$
Kvadrering på olikheter är också en metod.

Sant. Men måste man inte visa att detta stämmer genom en kontroll då, eftersom det är implikation?

Hur menar du?

SeriousCephalopod skrev:
Hur menar du?

$\sqrt{e} < 2 \Rightarrow e < 4 \Rightarrow \pm \sqrt{e} < 2$

? Kan vara jag som hakar upp mig på okunskap om olikheter.

Dock så stämmer iofs båda fallen här.

Varför sätter du dit ett $\pm$ ? Det behövs inte. Det SeriousCephalopod skriver är korrekt.

Förmodligen blandar du ihop det med att man inte kan "tillämpa en implikation baklänges" - om det hade handlat om att du skulle dra roten ur kvadraten på något, skulle du behöva sätta ut $\pm$ . När du som i detta fall skall kvadrera något, är detta inte nödvändigt.

Ah, det gör jag nog. Så om jag haft en situation där jag skulle dra roten ur kvadraten på något (även utan kvadraten eller en större potens?) skulle jag behöva sätta ut $\pm$ och därefter göra en kontroll för att se vilket/vilka tecken som gäller. Men inte i detta fall då jag går kvadrerar något (men implikations gäller i båda fallen).

Förstår jag rätt då?

I så fall ska det ju räcka med utvecklingen

$\sqrt{e} < 2 < e g e r 2 < e, \sqrt{e} < 2 \Rightarrow e < 4$

i detta fall.

Det låter för mig som att du behöver rota dina konceptioner av olikheter mer i representationer och intuition än i mekaniska scheman såsom "först ska man göra X och sedan Y".

Hela operationen är inte i sig mer komplicerad än att säga att om en sträcka A är mindre än en sträcka B så måste en kvadrat med A som sida vara mindre än en kvadrat med B som sida.

och omvänt: att om en kvadrat är större (har mer area) än en annan kvadrat så är dess sida också större. Negativa tal har inget med saken att göra i sig utan kan involveras som en eftertanke om man håller på med problem där negativa tal är relevanta.

Ja, det är ju sant. Sen så är det väl förståeligt att ett e mindre än noll vore ointressant (om man gått från en kvadrat och dragit roten ur), då man ska påvisa att 2 < e < 4.

Men man behöver alltså inte visa ekvivalens i varje steg i beviset, trots att det är en olikhet?

Men man behöver alltså inte visa ekvivalens i varje steg i beviset, trots att det är en olikhet?

I vilket steg är det du anser att det inte är ekvivalens? Du vet ju redan att 2<e, så du vet redan att e är positivt.

Tänker på steget $\sqrt{e} < 2 \Rightarrow e < 4$

Men eftersom man redan vet att e > 2 så kan man alltså ignorera denna implikation? Eller gäller således ekvivalens här?

Pompan skrev:
Tänker på steget $\sqrt{e} < 2 \Rightarrow e < 4$
Men eftersom man redan vet att e > 2 så kan man alltså ignorera denna implikation? Eller gäller således ekvivalens här?

Eftersom man vet att e är positiv så gäller ekvivalens.

Men du behöver inte ekvivalens här, bara ta det som var givet och arbeta dig fram med implikationer till det som skulle visas.

Hej!

Det gäller att $\sqrt{e}$ är ett positivt tal så om man multiplicerar olikheten $\sqrt{e}<2$ med detta tal så ändras inte olikheten.

$\sqrt{e}\cdot \sqrt{e} < \sqrt{e} \cdot 2 \iff e < 2\sqrt{e}.$

Olikheten $\sqrt{e} < 2$ ändras inte om den multipliceras med det positiva talet $2$ varför $2\sqrt{e} < 2 \cdot 2$ och du kan dra den önskade slutsatsen $2<e<4.$

Laguna skrev:
Men du behöver inte ekvivalens här, bara ta det som var givet och arbeta dig fram med implikationer till det som skulle visas.

Gäller det generellt för ekvationer där man ska visa samband att man inte måste ha ekvivalens hela vägen?

@Albiki

Haha, varför drog jag inte den kopplingen?? Tack!

Pompan skrev:
Laguna skrev:
Men du behöver inte ekvivalens här, bara ta det som var givet och arbeta dig fram med implikationer till det som skulle visas.
Gäller det generellt för ekvationer där man ska visa samband att man inte måste ha ekvivalens hela vägen?

I den här uppgiften gäller ekvivalens hela tiden (eftersom man vet att man multiplicerar med ettt positivt tal), så frågan är inte relevant för den här uppgiften.

Svara Avbryt

Visa senaste svar