Arcusfunktioner
Får man ta arcus funktioner i HL och VL och båda leden innehåller samma trigonometrisk funktion som t.ex.
sin(x)=sin(π/4+2x)
så att det blir
x+2π*n = π/4+2x
-π/4 + 2π*n = x
Zeshen skrev:Får man ta arcus funktioner i HL och VL och båda leden innehåller samma trigonometrisk funktion som t.ex.
sin(x)=sin(π/4+2x)
så att det blir
x+2π*n = π/4+2x
-π/4 + 2π*n = x
Du har tappat bort en lösningsmängd eftersom sin(v) = sin(pi - v)
Yngve skrev:Zeshen skrev:Får man ta arcus funktioner i HL och VL och båda leden innehåller samma trigonometrisk funktion som t.ex.
sin(x)=sin(π/4+2x)
så att det blir
x+2π*n = π/4+2x
-π/4 + 2π*n = x
Du har tappat bort en lösningsmängd eftersom sin(v) = sin(pi - v)
Just det men om man lägger till π - x + 2π*n= HL och löser det. Så man får använda arcusfunktioner på båda sidor? För arcusfunktioner ges endast minsta vinkeln som svar?
Zeshen skrev:Yngve skrev:Zeshen skrev:Får man ta arcus funktioner i HL och VL och båda leden innehåller samma trigonometrisk funktion som t.ex.
sin(x)=sin(π/4+2x)
så att det blir
x+2π*n = π/4+2x
-π/4 + 2π*n = x
Du har tappat bort en lösningsmängd eftersom sin(v) = sin(pi - v)
Just det men om man lägger till π - x + 2π*n= HL och löser det. Så man får använda arcusfunktioner på båda sidor? För arcusfunktioner ges endast minsta vinkeln som svar?
Och inte inversfunktion? T.ex. blir arccos(cos(225 grader)) inte lika med 225 grade men 135 grader
En funktion ger alltid ett utvärde för varje invärde. Cosinusfuntionen är periodisk, d v s många olika invärden ger samma utvärde. Det gör att när man går baklänges måste man begränsa sig till ett intervall för arccosvärdena.
Till skillnd mot Arcsin (med stor begynnelsebokstav) så ger funktionen arcsin endast värden i intervallet -pi till pi, det s.k. principalvärdet.
I detta intervall är arcsin den inversa funktionen till sinus.
Så ja, du kan använda arcsin som inversfunktion till sinus, men du måste då ta hänsyn till att du endast får ut en av lösningarna.
-----
På samma sätt ger arccos endast värden i intervallet 0 till pi (principalvärdet) och är i detta intervall inversfunktionen till cosinus.
Exempel:
Ekvationen cos(x) = 0,5 har lösningsmängden x = plusminus pi/3 + n*2pi.
Om du använder inversfunktionen arccos så får du endast ut värdet pi/3 eftersom arccos(0,5) = pi/3.
Dörför måste du själv komplettera med övriga lösningar (fetmarkerat):
cos(x) = 0,5
x = plusminus arccos(0,5) + n*2pi
Till skillnd mot Arcsin (med stor begynnelsebokstav) så ger funktionen arcsin endast värden i intervallet -pi till pi, det s.k. principalvärdet.
Var hittar du detta? Det är något jag aldrig har hört innan. Jag hittar det inte vare sig på svenska eller engelska Wikipedia-sidan om trigonometriska funktioner.
Yngve skrev:Exempel:
Ekvationen cos(x) = 0,5 har lösningsmängden x = plusminus pi/3 + n*2pi.
Om du använder inversfunktionen arccos så får du endast ut värdet pi/3 eftersom arccos(0,5) = pi/3.
Dörför måste du själv komplettera med övriga lösningar (fetmarkerat):
cos(x) = 0,5
x = plusminus arccos(0,5) + n*2pi
Jaha så man får göra det så länge man lägger till fetmarkerade kommer med. Men då får man ta arcus funktioner när man löser det för hand och tar hänsyn till övriga lösningar.
Smaragdalena skrev:
Var hittar du detta? Det är något jag aldrig har hört innan. Jag hittar det inte vare sig på svenska eller engelska Wikipedia-sidan om trigonometriska funktioner.
Jag kommer inte ihåg så mycket från högskolekurserna i matematisk analys.
Just detta hittar jag på Bruno Kevius hemsida.
Intressant. Man skall lära sig något nytt varje dag.
Smaragdalena skrev:Intressant. Man skall lära sig något nytt varje dag.
Alla sådana dagar är bra dagar.
Yngve skrev:Smaragdalena skrev:Var hittar du detta? Det är något jag aldrig har hört innan. Jag hittar det inte vare sig på svenska eller engelska Wikipedia-sidan om trigonometriska funktioner.
Jag kommer inte ihåg så mycket från högskolekurserna i matematisk analys.
Just detta hittar jag på Bruno Kevius hemsida.
Vad är det som gör att du väljer Bruno Kevius som en auktoritet inom Matematik? Såvitt jag vet finns det två personer som anser Kevius vara en auktoritet: Bruno Kevius och du.
Att prata om Arcsin som en oändligt flervärd funktion, när man försöker förklara vad invers till sinusfunktion är komplicerar situationen enligt min mening; man måste först definiera och diskutera begreppet oändligt flervärd funktion och definiera och diskutera begreppet principalvärde av oändligt flervärd funktion.
Arcsin(x) (med stort A alltså) bryter mot den mest grundläggande egenskapen en funktion skall ha: att varje invärde bara ger upphov till ett enda utvärde. Vanligen uttrycker man det som att om man ritar en graf för funktionen y(x) så kommer en lidrät linje i grafen inte att skära funktionen i mer än på ett ställe.
Albiki skrev:
Vad är det som gör att du väljer Bruno Kevius som en auktoritet inom Matematik? Såvitt jag vet finns det två personer som anser Kevius vara en auktoritet: Bruno Kevius och du.
Att prata om Arcsin som en oändligt flervärd funktion, när man försöker förklara vad invers till sinusfunktion är komplicerar situationen enligt min mening; man måste först definiera och diskutera begreppet oändligt flervärd funktion och definiera och diskutera begreppet principalvärde av oändligt flervärd funktion.
Har du något att tillföra i sakfrågan kring om och i så fall hur man kan använda arcusfunktioner för att lösa liknande ekvationer så vill jag gärna ta del av det.
