Aritmetikens fundamentalsats

- Vi använder ett motsägelsebevis för att bevisa att det finns ett oändligt antal primtal, vilket innebär att vi försöker bevisa att antalet primtal är ändligt, tills vi når något omöjligt påstående. 

- Vi tänker oss att vi konstruerar talet x genom att multiplicera alla primtal, och adderar sedan ett. 

- Inget av primtalen i produkttermen i x kan vara en faktor i x. Det skulle innebära att:

$$\begin{gathered} x=p_1{p}_2...p_r+1 \\ \frac{x}{p_i}=\frac{p_1{p}_2...p_r}{p_i}+\frac{1}{p_i} \end{gathered}$$

och att alla dessa bråk skulle gå jämnt ut. För x-termen och produkttermen är det väl okej, men titta närmare på $\frac{1}{p_i}$. Inget tal större än ett ger ett heltal om vi dividerar ett med någonting. 

- Enligt aritmetikens fundamentalsats (satsen längst ned i muren, som kickstartar alla andra satser inom aritmetiken) kan alla tal skrivas som en produkt av primtal. 

- Här kommer problemet: vi inkluderade alla primtal i vårt tal x, och inget av dessa primtal kan dela x. Men x måste ändå ha en primtalsfaktorisering enligt ovanstående stycke. x måste då bestå av andra primtal än de som utgör produkten till det. Det kan alltså inte finnas ett ändligt antal primtal.

dajamanté skrev :

Jag behöver en omformulering här också. Jag blir verkligen förvirrad av språket.

Jag läser om och läser om men jag får inga klar bild av detta.

De menar att alla tal $n$ kan skrivas om en produkt av primtal $n=p_1*p_2*p_n$, och att om man multiplicerar med en ytterligare tal $p_(n+1)$ måste även denna tal vara delbart med en större primtal?

Nej, det de menar är att om vi har en lista på primtal som vi tror är komplett, dvs om vi tror att $p_1, p_2, ...p_n$ är alla primtal som finns så kan vi alltid skapa ett tal $x_1$, vars primtalsfaktorisering inte innehåller något av primtalen ur listan. Alltså finns det ytterligare primtal utöver de som finns i listan och listan är därför inte komplett.

"Men då lägger vi bara till dem i listan så blir den komplett?"

Nej, för vi kan tillämpa exakt samma resonemang igen och på samma sätt hitta ett nytt tal $x_2$, vars primtalsfaktorisering inte innehålller något av primtalen i vår nya lista.

Och så vidare.

Jag har också googlat fram aritmetik fundamentella sats. Vad betyder det? Det står Varje heltal större än 1 kan skrivas som en produkt av primtal på ett och endast ett sätt, men $13=13*1$, och 1 är inga primtal?

Talet 12 kan delas upp i primtalsfaktorer på endast ett sätt, nämligen 2*2*3.

Produkten 1*2*2*3 är inte en uppdelning i primtalsfaktorer eftersom 1 inte är ett primtal.

Tack, era omförmuleringar är mycket bättre.

Men Yngve, tretton är ju större än ett? Varför faller den inte under aritmetiska fundamentala stats, för sjutton? Antigen är den fundamental eller inte? Svara gärna på invandrar alternativ dagissvenska :D

dajamanté skrev :

Tack, era omförmuleringar är mycket bättre.

Men Yngve, tretton är ju större än ett? Varför faller den inte under aritmetiska fundamentala stats, för sjutton? Antigen är den fundamental eller inte? Svara gärna på invandrar alternativ dagissvenska :D

Jo fundamentalsatsen gäller även talet 13.

Den unika primtalsfaktoriseringen av 13 är ... (trumvirvel)... 13.

13*1 är ingen primtalsfaktorisering eftersom faktorn 1 inte är ett primtal.

Så du menar att för primtaler, n=n är en faktorisering? Jag trodde att det behövdes två faktorer för faktorisering, man måste vara två för tango liksom...

dajamanté skrev :

Så du menar att för primtaler, n=n är en faktorisering? Jag trodde att det behövdes två faktorer för faktorisering, man måste vara två för tango liksom...

Du har en poäng där Daja.

En faktorisering betyder i allmänhet att något delas upp i flera (minst två) faktorer.

Men en faktorisering av talet 1 blir ju endast 1, inte 1*1.

På samma sätt är en faktorisering av ett primtal endast primtalet själv, inte 1*primtalet.

--------------------

Jag har inte koll på hur den formella definitionen av begreppet faktorisering lyder.

Kanske finns det någon möjlighet att en faktorisering endast består av en faktor i vissa sammanhang, t.ex. avseende talet 1 och alla primtal?

Kanske någon annan mer teoretiskt lagd kan hjälpa till här?  

Hej!

Anta att det inte finns oändligt många primtal. Då kan du skriva upp dem i en lista: $p_{1}, p_{2},\ldots, p_{n},$ där $p_{n}$ betecknar det största primtalet.

Bilda heltalet

    $T = 1 + p_{1}\cdot p_{2} \cdot \cdots \cdot p_{n}\ .$

Det finns två möjligheter för detta tal:

• Det är ett primtal.
• Det är inte ett primtal.

Om talet $T$ är ett primtal så finns det i primtalslistan. Men det kan det ju inte göra eftersom talet är större än $p_{n}$, och $p_{n}$ var ju det största primtalet som finns. Slutsatsen är att talet $T$ är inte ett primtal.

Om talet $T$ inte är ett primtal så måste det vara en produkt av några primtal från primtalslistan. Men det är omöjligt, eftersom talet går inte att dela med något av talen ur primtalslistan; det blir alltid en rest som är lika med $1\ .$

Du ser att båda möjligheterna leder till motsägelser. Detta betyder att det jag skrev i början "Anta att det inte finns oändligt många primtal." är fel.

Den enda möjliga slutsatsen som återstår är att det finns oändligt många primtal.

Albiki

@Yngve: jag kan fråga till en teoretiker i universitet om du vill?

@Albiki: snyggt bevis. Det var bra med den här motsägelsebevis grej.

Aha! Och skulle man kunna säga om T att:

Om $T= 1 +p_1 \cdot p_2 ... p_n$ är inte primtal, då måste det finnas Error converting from LaTeX to MathML som kanske är primtal?

Nej vänta, det är hela poäng att vi antog att primtal listan är slutlig...?

dajamanté skrev :

@Yngve: jag kan fråga till en teoretiker i universitet om du vill?

Ja det kan du göra. Men jag hoppades att någon här skulle kunna fylla i med det.

Alltså huruvida begreppet primtalsfaktorisering är ett specialfall av begreppet faktorisering eller inte. 

Det verkar ju inte vara så eftersom faktorisering förutsätter 2 eller fler faktorer men en primtalsfaktorisering kan bestå av endast en faktor.

Därför tänkte jag att någon teoretiker här kunde reda ut begreppen.

@Albiki: snyggt bevis. Det var bra med den här motsägelsebevis grej.

Aha! Och skulle man kunna säga om T att:

Om $T= 1 +p_1 \cdot p_2 ... p_n$ är inte primtal, då måste det finnas Error converting from LaTeX to MathML som kanske är primtal?

Nej vänta, det är hela poäng att vi antog att primtal listan är slutlig...?

Ja det är hela poängen.

Det hela liknar Cantors diagonalmetod som på ett elegant sätt visar att de reella talen är en ouppräknelig (överuppräknelig) mängd.

Dvs inte nog med att mängden reella tal är oändlig, det är dessutom omöjligt att räkna upp de reella talen, till skillnad från andra oändliga, men uppräkneliga mängder såsom mängden av alla heltal, mängden av alla rationella tal o.s.v.

Yngve skrev :

dajamanté skrev :

@Yngve: jag kan fråga till en teoretiker i universitet om du vill?

Ja det kan du göra. Men jag hoppades att någon här skulle kunna fylla i med det.

Alltså huruvida begreppet primtalsfaktorisering är ett specialfall av begreppet faktorisering eller inte. 

Det verkar ju inte vara så eftersom faktorisering förutsätter 2 eller fler faktorer men en primtalsfaktorisering kan bestå av endast en faktor.

Därför tänkte jag att någon teoretiker här kunde reda ut begreppen.

Primtalsfaktoriseringen av $13$ är just $13$. I finare fall skriver man $13^n$ med $n=1$. Så primtalsfaktoriseringen av $13=13^1$.

woozah skrev :

Primtalsfaktoriseringen av $13$ är just $13$. I finare fall skriver man $13^n$ med $n=1$. Så primtalsfaktoriseringen av $13=13^1$.

Frågan gäller huruvida detta kan kallas en faktorisering, eftersom begreppet faktorisering verkar förutsätta minst två faktorer.

Man definiera (primtals)faktorisering som en produkt av minst två (prim)tal (eller objekt i allmänna fallet), ibland är det uttryckt som att det ska vara andra objekt än det man faktoriserar vilket ger att produkten har minst två faktorer. Då är primtalsfaktorisering endast möjlig för sammansatta tal och om man är noggrann i formuleringen av fundamentalsatsen skriver man att talet antingen är ett primtal eller en produkt av primtal som är unik bortsett från ordningen av faktorerna. 

Men det går ju att definiera en produkt av en ändlig lista av tal (definitionen blir rekursiv uttryckt som en produkt av första talet i listan och en kortare lista). Då kan man ha som basfall att produkten av en lista med endast ett tal är talet självt, eller till och med att produkten av en tom lista är talet 1. I så fall kan man ha formuleringen positiva tal i fundamentalsatsen istället för tal större än 1, eftersom 1 kan då skrivas som produkten av inga primtal (en tom lista), eller tomma produkten som det ibland kallas. 

Hej!

Aritmetikens Fundamentalsats säger att varje positivt heltal som är strikt större än 1 kan klassificeras på följande sätt:

• Heltalet är ett primtal.
• Heltalet kan skrivas som en produkt av primtal.

En enskilt heltal kan alltid skrivas som en produkt av två heltal; till exempel $13 = 1 \cdot 13.$

Om talet $1$ vore ett primtal så skulle varje primtal ($p$) kunna skrivas som en produkt av två primtal (nämligen $p = 1 \cdot p$), vilket skulle göra primtalet till ett sammansatt tal (en motsägelse); det är av denna anledning som talet $1$ inte räknas som ett primtal.

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

Aritmetikens Fundamentalsats säger att varje positivt heltal som är strikt större än 1 kan klassificeras på följande sätt:

• Heltalet är ett primtal.
• Heltalet kan skrivas som en produkt av primtal.

En enskilt heltal kan alltid skrivas som en produkt av två heltal; till exempel $13 = 1 \cdot 13.$

Om talet $1$ vore ett primtal så skulle varje primtal ($p$) kunna skrivas som en produkt av två primtal (nämligen $p = 1 \cdot p$), vilket skulle göra primtalet till ett sammansatt tal (en motsägelse); det är av denna anledning som talet $1$ inte räknas som ett primtal.

Albiki

Tack, men detta är inte relevant för frågeställningen huruvida 13 kan kallas för en faktorisering (eller en primtalsfaktorisering) av 13.

dioid skrev :

Man definiera (primtals)faktorisering som en produkt av minst två (prim)tal (eller objekt i allmänna fallet), ibland är det uttryckt som att det ska vara andra objekt än det man faktoriserar vilket ger att produkten har minst två faktorer. 

Ja om det är uttryckt på det sättet (min kursivering) så hänger det ihop.

Jag tror det kallas trivial faktorisering. (minut 3:10 och lite till) !