Avgör om det finns konvergerande integraler vars gränsvärden inte är lika med noll. (Matematik/Allmänna diskussioner)

Det du hävdar är alltså att om $\lim_{x\to \infty}f(x) = 0$ så är

$\int_{0}^{\infty}f(x)dx <>$ ?

Om du gör det så är svaret Nej!

Jag antar att det ska stå

$\displaystyle \int_0^{\infty}f\left(x\right)\ dx<>$

I sådant fall stämmer det, men jag är mer intresserad av hur du kommer fram till det. Har du ett resonemang eller ett motexempel att presentera?

f kan väl få anta bara värdena 1 och -1, men på ständigt minskande intervall. Man delar in intervallet [1,2] i två delar, och f får vara -1 på ena halvan och 1 på andra halvan. Intervallet [2,3] delar man in i fyra intervall, osv.

Ja, det ska stå $\int_{0}^{\infty}f(x)dx<>$

Funktionen $f(x) = x^{-1}\ , \quad x>0$ är ett (av oändligt många) motexempel.

Albiki skrev:
Ja, det ska stå $\int_{0}^{\infty}f(x)dx<>$
Funktionen $f(x) = x^{-1}\ , \quad x>0$ är ett (av oändligt många) motexempel.

Jo, fast

$\lim_{x\to\infty} x^{-1}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0$

Jag var specifikt ute efter om det finns funktioner med gränsvärden mot oändligheten som inte blir noll men vars integraler från noll till oändligheten ändå konvergerar.

Laguna skrev:
f kan väl få anta bara värdena 1 och -1, men på ständigt minskande intervall. Man delar in intervallet [1,2] i två delar, och f får vara -1 på ena halvan och 1 på andra halvan. Intervallet [2,3] delar man in i fyra intervall, osv.

Intressant!

Det stämmer inte att $f$ bara kan anta värdena $-1$ och $1$ , men däremot detta med ständigt minskande intervall låter mer lovande. Vad får dig att säga att det måste vara så? Lyckas du ta fram någon exempelfunktion?

Jaha, men då fungerar inte mitt motexempel.

Du är alltså intresserad av Lebesgueintegrabla funktioner $f : (0,\infty)\to \mathbb{R}$ som är sådana att Lebesgueintegralen är ändlig $\int_{0}^{\infty}f(x)dx<>$ samtidigt som gränsvärdet $\lim_{x\to\infty}f(x)$ existerar och är inte lika med noll? Eller är det Riemannintegerbara funktioner som du söker?

Albiki skrev:
Jaha, men då fungerar inte mitt motexempel.
Du är alltså intresserad av Lebesgueintegrabla funktioner $f : (0,\infty)\to \mathbb{R}$ som är sådana att Lebesgueintegralen är ändlig $\int_{0}^{\infty}f(x)dx<>$ samtidigt som gränsvärdet $\lim_{x\to\infty}f(x)$ existerar och är inte lika med noll? Eller är det Riemannintegerbara funktioner som du söker?

Jag kanske uttryckt mig lite missvisande; jag kräver inte att gränsvärdet skall existera, jag kräver bara att ifall det existerar är det inte lika med noll.

Jag tänkte mig först och främst Riemannintegrerbara funktioner, men visar du att det finns funktioner som är Lebesgueintegrerbar godtar jag dem också.

Okej, så du frågar efter en Riemannintegrerbar funktion $f : (0,\infty) \to \mathbb{R}$ som är sådan att Riemannintegralen $\int_{0}^{\infty}f(x)dx$ är ändlig och gränsvärdet $\lim_{x\to\infty}f(x)$ behöver inte existera.

Jag kan ge ett motexempel där funktionen är Lebesgueintegrerbar.

$f(x) = 1$ då det positiva talet $x$ är rationellt och $f(x) = 0$ då det positiva talet $x$ är irrationellt. Lebesgueintegralen $\int_{0}^{\infty}f(x)dx$ är lika med noll och gränsvärdet $\lim_{x\to\infty}f(x)$ existerar inte.

Bra poäng med indikatorfunktionen över de rationella talen. Ja, då finns det uppenbarligen Lebesgueintegrerbara funktioner med de eftersökta egenskaperna. Men hur blir det med Riemannintegrerbara funktioner?

AlvinB skrev:
Laguna skrev:
f kan väl få anta bara värdena 1 och -1, men på ständigt minskande intervall. Man delar in intervallet [1,2] i två delar, och f får vara -1 på ena halvan och 1 på andra halvan. Intervallet [2,3] delar man in i fyra intervall, osv.
Intressant!
Det stämmer inte att $f$ bara kan anta värdena $-1$ och $1$ , men däremot detta med ständigt minskande intervall låter mer lovande. Vad får dig att säga att det måste vara så? Lyckas du ta fram någon exempelfunktion?

Låt floor(t) vara det största heltal som inte är större än t. Låt n vara floor(x). Låt f(x) vara 1 om floor((x-n)·2^n) är udda, annars -1.

Laguna skrev:
AlvinB skrev:
Laguna skrev:
f kan väl få anta bara värdena 1 och -1, men på ständigt minskande intervall. Man delar in intervallet [1,2] i två delar, och f får vara -1 på ena halvan och 1 på andra halvan. Intervallet [2,3] delar man in i fyra intervall, osv.
Intressant!
Det stämmer inte att $f$ bara kan anta värdena $-1$ och $1$ , men däremot detta med ständigt minskande intervall låter mer lovande. Vad får dig att säga att det måste vara så? Lyckas du ta fram någon exempelfunktion?

Låt floor(t) vara det största heltal som inte är större än t. Låt n vara floor(x). Låt f(x) vara 1 om floor((x-n)·2^n) är udda, annars -1.

Har inte undersökt saken särskilt nära, men är du säker på att denna funktion är Riemannintegrerbar? Vad blir i så fall integralen?

AlvinB skrev:
Laguna skrev:
AlvinB skrev:
Laguna skrev:
f kan väl få anta bara värdena 1 och -1, men på ständigt minskande intervall. Man delar in intervallet [1,2] i två delar, och f får vara -1 på ena halvan och 1 på andra halvan. Intervallet [2,3] delar man in i fyra intervall, osv.
Intressant!
Det stämmer inte att $f$ bara kan anta värdena $-1$ och $1$ , men däremot detta med ständigt minskande intervall låter mer lovande. Vad får dig att säga att det måste vara så? Lyckas du ta fram någon exempelfunktion?

Låt floor(t) vara det största heltal som inte är större än t. Låt n vara floor(x). Låt f(x) vara 1 om floor((x-n)·2^n) är udda, annars -1.
Har inte undersökt saken särskilt nära, men är du säker på att denna funktion är Riemannintegrerbar? Vad blir i så fall integralen?

Jag är inte så hemma på olika typer av integrabilitet, så jag vet inte.

AlvinB skrev:
Bra poäng med indikatorfunktionen över de rationella talen. Ja, då finns det uppenbarligen Lebesgueintegrerbara funktioner med de eftersökta egenskaperna. Men hur blir det med Riemannintegrerbara funktioner?

Ja du, vad betyder det egentligen att en funktion är Riemannintegrerbar? (Jag är inte intresserad av att få se en copy-paste av definitionen av Riemannintegrerbarhet.)

Albiki skrev:
AlvinB skrev:
Bra poäng med indikatorfunktionen över de rationella talen. Ja, då finns det uppenbarligen Lebesgueintegrerbara funktioner med de eftersökta egenskaperna. Men hur blir det med Riemannintegrerbara funktioner?
Ja du, vad betyder det egentligen att en funktion är Riemannintegrerbar? (Jag är inte intresserad av att få se en copy-paste av definitionen av Riemannintegrerbarhet.)

Så vitt jag vet är en funktion Riemannintegrerbar om den är begränsad på integrationsintervallet och om mängden diskontinuiteter har Lebesguemåttet noll.

Jag är nog inte tillräckligt bevandrad i måtteorins värld för att besvara exakt vad det betyder att något har Lebesguemåttet noll. Jag vet att alla uppräkneliga mängder har Lebesguemåttet noll eftersom de kan beskrivas som uppräkneliga unioner av enpunktsmängder, men det finns ju icke-uppräkneliga mängder som ändå har Lebesguemåttet noll.

Jag kan säga så här: Det finns till och med kontinuerliga funktioner som uppfyller kraven, vilket är varför jag inte var jättenoga med att spalta upp några krav om integrerbarhet.

Man kan göra om min funktion till en kontinuerlig genom att ha sin(2*pi*(x-n)*2^n) i stället.

Laguna skrev:
Man kan göra om min funktion till en kontinuerlig genom att ha sin(2*pi*(x-n)*2^n) i stället.

Jag har tänkt till litegrann och jag är ganska säker på att din ursprungliga funktion:

( $\lfloor x\rfloor$ betecknar floor-funktionen)

är Riemannintegrerbar. Detta eftersom diskontinuiteterna är uppräkneliga $\{1+2^{-1},1+2\cdot2^{-1},2+2^{-2},2+2\cdot2^{-2},2+3\cdot2^{-2},2+4\cdot2^{-2},3+2^{-3},...\}$ . Albiki får rätta mig om jag har fel.

Din nya funktion är mer vad jag hade i åtanke från början. Det är nämligen så att ganska många funktioner på formen $\sin(f(x))$ har denna egenskap (jag tror men har inte lyckats bevisa att det gäller alla $f(x)$ med växande derivata). Ett av de enklare exemplen är:

$\displaystyle \int_0^{\infty}\sin\left(x^2\right)\ dx$

vilken man med lite komplex analys kan visa har värdet:

$\displaystyle \int_0^{\infty}\sin\left(x^2\right)\ dx=\sqrt{\frac{\pi}{8}}$