Bas för vektorrummet

Hej!

När du ska beräkna matrisexponenterna får du tänka på taylorutvecklingen av exponentialfunktionen. Vad händer om du sätter in matriserna i den?

Vänligen,
Kilian

Vad använder ni för bok i den kursen?

Dina matriser är fel. Tänk nogrannare på vad som händer när du deriverar polynim.

Med matrisen du har för T nu skulle tex a+bx+cx^2 bli y=b+2c, och S(a+bx+cx^2)=(b+2c)x

hej, värför är mina matriser inte rätta

När du deriverar x^2 blir det 2x, vilket i vektorform kan skrivas (0,2,0). Detta är då den sista kolumnen i T, så din tvåa där ska hoppa ned ett steg. På samma sätt blir det för S, tvåan bör hoppa ned (eftersom x*d/dx(x^2) = x*2x=x^2 = (0,0,2))

Hej,

Basen är $\mathcal{B}=\{e_0,e_1,e_2\}$ där $e_0(x)=1$ och $e_1(x)=x$ samt $e_2(x) = x^2.$ Då blir

    $Te_0 = 0\cdot e_0+0e_1 +0e_2$ och $Te_1 = 1e_0+0e_1+0e_2$ samt $Te_2 = 0e_0+2e_1+0e_2$

så att matrisrepresentationen av $T$ i denna bas är

    $\displaystyle [T]_\mathcal{B}=X = \begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}.$

Denna matris är sådan att $X^3 = 0$ (nollmatrisen) vilket ger matrisexponentialen

    $e^{X} = E + X + 0.5X^2 = \begin{pmatrix}1&1&1\\2&1&1\\2&3&1\end{pmatrix}$

vars determinant är $\det e^{X} = 2.$

Om man istället använder basen $\mathcal{F}$ så kommer matrisrepresentationen av $T$ att vara en matris $Y=[T]_\mathcal{F}$ som är similär med matrisen $X$, vilket i sin tur medför att matriserna $e^{X}$ och $e^{Y}$ kommer att vara similära. Deras egenvärden är därför desamma vilket medför att deras determinanter är samma, eftersom determinant är produkt av egenvärden.

Albiki skrev:

Hej,

Basen är $\mathcal{B}=\{e_0,e_1,e_2\}$ där $e_0(x)=1$ och $e_1(x)=x$ samt $e_2(x) = x^2.$ Då blir

    $Te_0 = 0\cdot e_0+0e_1 +0e_2$ och $Te_1 = 1e_0+0e_1+0e_2$ samt $Te_2 = 0e_0+2e_1+0e_2$

så att matrisrepresentationen av $T$ i denna bas är

    $\displaystyle [T]_\mathcal{B}=X = \begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}.$

Denna matris är sådan att $X^3 = 0$ (nollmatrisen) vilket ger matrisexponentialen

    $e^{X} = E + X + 0.5X^2 = \begin{pmatrix}1&1&1\\2&1&1\\2&3&1\end{pmatrix}$

vars determinant är $\det e^{X} = 2.$

Om man istället använder basen $\mathcal{F}$ så kommer matrisrepresentationen av $T$ att vara en matris $Y=[T]_\mathcal{F}$ som är similär med matrisen $X$, vilket i sin tur medför att matriserna $e^{X}$ och $e^{Y}$ kommer att vara similära. Deras egenvärden är därför desamma vilket medför att deras determinanter är samma, eftersom determinant är produkt av egenvärden.

Borde inte din matrisrepresentation av T vara transponerad? Alltså vektorerna du får ut genom att multiplicera vektorerna i B med t borde vara kolumnerna i matrisen.