Beräkna arean av detta område (Matematik/Inför högskolan)

En del av integralen ger ett negativt bidrag eftersom funktionen antar negativa värden på ett delintervall till $[0,3]$ . Därför blir det du räknar fram mindre än den area som eftersöks. Om du funderar på ett sätt att bestämma detta delintervall kan du nog lösa uppgiften.

Det är viktigt att förstå att en integral inte ger arean under en funktion på ett intervall. En integral är bara ett matematiskt verktyg som ibland kan användas för att beräkna areor under rätt förutsättningar.

naytte skrev:
En del av integralen ger ett negativt bidrag eftersom funktionen antar negativa värden på ett delintervall till $[0,3]$ . Därför blir det du räknar fram mindre än den area som eftersöks. Om du funderar på ett sätt att bestämma detta delintervall kan du nog lösa uppgiften.

Det är viktigt att förstå att en integral inte ger arean under en funktion på ett intervall. En integral är bara ett matematiskt verktyg som ibland kan användas för att beräkna areor under rätt förutsättningar.

Det är det som jag har fastnat på dvs hur jag ska bestämma den sökta arean. Om jag förstår dig rätt så ger integral inte arean av en kurva ?

En integral är bara ett matematiskt objekt som ger ett tal, varken mer eller mindre. Under vissa förutsättningar kan detta tal sammanfalla med en area. Anta att en funktion $f$ är definierad på ett intervall $[a,b]$ . Definiera $I$ enligt

$\displaystyle I = \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx$

Det gäller nu att $I$ ger den tecknade arean mellan $f$ och $x$ -axeln på intervallet $[a,b]$ endast om $f$ inte byter tecken någonstans på intervallet. Adjektivet tecknad innebär att denna "area" kan vara negativ.

På intervallet $[0,3]$ antar vår funktion $g$ negativa värden på ett intervall $\mathcal{C}\subseteq [0,3]$ . Har du något förslag på hur du skulle kunna bestämma detta intervall?

naytte skrev:
En integral är bara ett matematiskt objekt som ger ett tal, varken mer eller mindre. Under vissa förutsättningar kan detta tal sammanfalla med en area. Anta att en funktion $f$ är definierad på ett intervall $[a,b]$ . Definiera $I$ enligt

$\displaystyle I = \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx$

Det gäller nu att $I$ ger den tecknade arean mellan $f$ och $x$ -axeln på intervallet $[a,b]$ endast om $f$ inte byter tecken någonstans på intervallet. Adjektivet tecknad innebär att denna "area" kan vara negativ.

På intervallet $[0,3]$ antar vår funktion $g$ negativa värden på ett intervall $\mathcal{C}\subseteq [0,3]$ . Har du något förslag på hur du skulle kunna bestämma detta intervall?

Vad menas med att b är en delmängd eller lika med [0,3]? Nej jag har inget förslag justnu. Skulle nog behöva en ledtråd för att komma på något på vägen.

Det är inte ett b, utan ett prydligt C. Hur som helst betyder $\mathcal{C}\subseteq [0,3]$ samma sak som " $\mathcal{C}$ är en delmängd till $[0,3]$ ". Mer specifikt rör det sig i vårt fall om ett delintervall.

För att hitta det intervall på $[0,3]$ där $g$ antar negativa värden kan vi fundera på lösningarna till olikheten

$\displaystyle g\left(x\right)=x\left(x^2-5x+6\right) < 0$

naytte skrev:
Det är inte ett b, utan ett prydligt C. Hur som helst betyder $\mathcal{C}\subseteq [0,3]$ samma sak som " $\mathcal{C}$ är en delmängd till $[0,3]$ ". Mer specifikt rör det sig i vårt fall om ett delintervall.

För att hitta det intervall på $[0,3]$ där $g$ antar negativa värden kan vi fundera på lösningarna till olikheten

$\displaystyle g\left(x\right)=x\left(x^2-5x+6\right) < 0$

Hur vet man att g antar negativa värden på det här sökta delintervallet? Jag har för mig att när man ska beräkna arean eller liknande så finns det övre funktion-undre funktion metoden.

Det vet du egentligen inte a priori, utan det måste du egentligen kolla innan du försöker beräkan någon integral. Som sagt ger en integral endast en area under rätt förutsättningar, och du måste säkerställa att dessa uppfylls innan du försöker beräkna integralen.

naytte skrev:
Det vet du egentligen inte a priori, utan det måste du egentligen kolla innan du försöker beräkan någon integral. Som sagt ger en integral endast en area under rätt förutsättningar, och du måste säkerställa att dessa uppfylls innan du försöker beräkna integralen.

Vad ska jag kolla när jag ska försöka beräkna en integral? Justnu förstår jag inte alls vad frågan vill eller hur den ska tolkas.

Du måste se till att funktionen inte byter tecken på intervallet du vill integrera över. Om den gör detta får du inte någon area av integralen.

naytte skrev:
Du måste se till att funktionen inte byter tecken på intervallet du vill integrera över. Om den gör detta får du inte någon area av integralen.

Ok så om funktionen är strikt positivt på intervallet jag vill integrera över så får jag någon area av integralen, annars inte?

Strikt negativ går också, eller noll. Men den får inte gå från negativ till positiv eller tvärtom någonstans.

naytte skrev:
Strikt negativ går också, eller noll. Men den får inte gå från negativ till positiv eller tvärtom någonstans.

Okej jag förstår . Så i vårt fall byter g(x) på hela intervallet [0,3] ? Är det som frågan handlar om? De säger ju ett område ovanför x-axeln.

Fysiker19 skrev:
naytte skrev:
Strikt negativ går också, eller noll. Men den får inte gå från negativ till positiv eller tvärtom någonstans.

Okej jag förstår . Så i vårt fall byter g(x) på hela intervallet [0,3] ? Är det som frågan handlar om? De säger ju ett område ovanför x-axeln.

Börja med att bilda dig en uppfattning om grafen.

g(x) är ett 3:e-gradspolynom och skär x-axeln maximalt 3 gånger.

a) Kan du finna nollställena. Ett av dem är särskilt enkelt.

b) Då konstanten för x^3-termen är positiv har y=g(x) följande skissartade utseende: _____________

Nu kan du lätt lösa ursprungsuppgiften.

Okej jag förstår Så i vårt fall byter g(x) på hela intervallet [0,3] ? Är det som frågan handlar om? De säger ju ett område ovanför x-axeln.

Trinity2 ger ett bra tips: rita eller kolla upp grafen på t.ex. desmos.

I vårt fall finns det ett delintervall till $[0,3]$ där $g\left(x\right)<0$ . Detta bidrar negativt till integralen.

Ett trivialt exempel är exempelvis sinus. Integralen för sin(x) mellan 0 och 2pi är =0. Arean är förstås >0.

sictransit skrev:
Ett trivialt exempel är exempelvis sinus. Integralen för sin(x) mellan 0 och 2pi är =0. Arean är förstås >0.

Menar du att en area inte kan vara 0 utan större än 0 (positivt)?

Fysiker19 skrev:
sictransit skrev:
Ett trivialt exempel är exempelvis sinus. Integralen för sin(x) mellan 0 och 2pi är =0. Arean är förstås >0.

Menar du att en area inte kan vara 0 utan större än 0 (positivt)?

Nej, men om du ritar upp en sinuskurva, så ser du att arean av en period är >0 även om värdet av integralen är =0.

sictransit skrev:
Fysiker19 skrev:
sictransit skrev:
Ett trivialt exempel är exempelvis sinus. Integralen för sin(x) mellan 0 och 2pi är =0. Arean är förstås >0.

Menar du att en area inte kan vara 0 utan större än 0 (positivt)?

Nej, men om du ritar upp en sinuskurva, så ser du att arean av en period är >0 även om värdet av integralen är =0.

En sinuskurva som t.ex y=sin(x)? Hur vet du att arean av intervallet [0,2pi]>0 även om värdet av integralen är 0?

Fysiker19 skrev:
sictransit skrev:
Fysiker19 skrev:
sictransit skrev:
Ett trivialt exempel är exempelvis sinus. Integralen för sin(x) mellan 0 och 2pi är =0. Arean är förstås >0.

Menar du att en area inte kan vara 0 utan större än 0 (positivt)?

Nej, men om du ritar upp en sinuskurva, så ser du att arean av en period är >0 även om värdet av integralen är =0.

En sinuskurva som t.ex y=sin(x)? Hur vet du att arean av intervallet [0,2pi]>0 även om värdet av integralen är 0?

Det vet jag eftersom jag känner till hur en sinuskurva ser ut.

Jag tänkte att det skulle vara ett enkelt exempel, men där misstog jag mig kanske.

Kika på den här grafen:

Arean består av den blå och den röda ytan. Båda är 2 a.e. stora, så totala arean blir =4 a.e.

Värdet av integralen från π till 2π är =-2, alltså negativt, så därför blir värdet av integralen =0.

Som nämnts tidigare här i tråden kan man alltså använda integraler för att beräkna areor, så länge man har koll på att värdet blir negativt under x-axeln.

Det jag ville visa var att värdet av integralen mycket väl kan vara =0 även om arean är =4 a.e.

Här kommer ett lösningsförslag

Uppgiften lyder att vi ska bestämma den area som innesluts ovanför $x$ -axeln på intervallet $[0,3]$ mellan $x$ -axeln och funktionen $g$ som definieras av

$\displaystyle g\left(x\right)=x\left(x^2-5x+6\right)$

Det rätta objektet att använda här är integralen, men vi måste vara lite försiktiga. Innan vi börjar integrera hejvilt måste vi säkerställa att vi inte räknar med negativa bidrag från områden som innesluts av $x$ -axeln och $g$ under $x$ -axeln. Vi kan bestämma på vilka intervall dessa negativa bidrag skulle förekomma genom att studera olikheten

$\displaystyle g\left(x\right)=x\left(x^2-5x+6\right) < 0$

Eftersom de eventuella lösningar som vi skulle bry oss om måste uppfylla åtminstone $x>0$ kan vi förbehållsfritt dela med $x$ och erhåller då olikheten

$\displaystyle \left(x^2-5x+6\right) < 0$

Härifrån finns det flera sätt att angripa problemet på. Vi inser att ett eventuellt intervall med negativa funktionsvärden måste ligga mellan nollställena till $\displaystyle f\left(x\right)\equiv x^2-5x+6$ . Således använder vi $pq$ -formeln:

$\displaystyle x_{1,2}=\frac{5}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2-6} = \frac{5}{2}\pm \frac{1}{2}$

Nollställena är alltså $x_1 = 2$ och $x_2=3$

Om det finns ett intervall där vi får negativa bidrag till integralen, då måste det intervallet vara $(2,3)$ . Vi bekräftar att $g(x)<0$ på detta intervall genom att kolla t.ex. $x=5/2$ :

$\displaystyle g\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{5}{2}\left( \frac{25}{4}-\frac{50}{4}+ \frac{24}{4}\right) = -\frac{5}{8} <0$

Tydligen så antar $g$ alltså negativa värden på $(2,3)$ . Därför är det intervall vi ska integrera över egentligen $[0,3]\setminus (2,3] = [0,2]$ . Då får vi:

$\displaystyle A=\int_{0}^{2}g\left(x\right)dx=\int_{0}^{2}\left(x^3-5x^2+6x\right)dx=\frac{8}{3}$

$\blacksquare$