Bestäm alla par (x,y)

$xy+x+2y=100$

$xy+2y=100-x$

$y(x+2)=100-x$

$y=\frac{100-x}{x+2}$

• Eftersom $y$ ska vara ett positivt tal så måste ... <kan du fylla i villkoret själv?>
• Eftersom $y$ ska vara ett heltal så måste ... <kan du fylla i villkoret själv?>

x kan inte vara större än 100 eller lika med 100 för att då blir täljaren negativ eller lika med 0 

x + 2 ska alltid vara mindre än 100-x och delbart med x+ 2 men jag förstår inte hur det ska funka.

jag skrev ett ekvationssystem

100 -x = b

x + 2 = b

x = b -2

100 -2 = 2b

98 = 2b

b = 48 

eller y = 48 

men jag vet inte hur jag ska göra för att ett värde på x ger olika värden på nämnaren och täljaren. Om x = 1 då blir y ett positivt heltal men om x är 2 eller större än 2 då funkar det inte. 

Nichrome skrev:

x kan inte vara större än 100 eller lika med 100 för att då blir täljaren negativ eller lika med 0 

Bra, det stämmer. Det måste alltså gälla att $1\leq x\leq99$

x + 2 ska alltid vara mindre än 100-x och delbart med x+ 2 men jag förstår inte hur det ska funka.

Ja, om du menar att $100-x$ ska vara delbart med $x+2$ så har du rätt. 

Om du istället löser ut $x$ ur ursprungsekvationen så får du $x=\frac{100-2y}{y+1}$.

Du kan nu gå igenom alla möjliga värden på $y$ från 1 och uppåt och se vilka av dessa som gör att $x$ blir ett heltal.

Yngve skrev:

Nichrome skrev:

x kan inte vara större än 100 eller lika med 100 för att då blir täljaren negativ eller lika med 0 

Bra, det stämmer. Det måste alltså gälla att $1\leq x\leq99$

x + 2 ska alltid vara mindre än 100-x och delbart med x+ 2 men jag förstår inte hur det ska funka.

Ja, om du menar att $100-x$ ska vara delbart med $x+2$ så har du rätt. 

Om du istället löser ut $x$ ur ursprungsekvationen så får du $x=\frac{100-2y}{y+1}$.

Du kan nu gå igenom alla möjliga värden på $y$ från 1 och uppåt och se vilka av dessa som gör att $x$ blir ett heltal.

y = 1 och y = 2 funkar, om y är större än 2 funkar det inte. Men varför är det så? 

och x = 1 funkar men x = 2 och x = 3 funkar inte men x = 4 funkar.... 

Du har hittat 4 av de 5 möjliga lösningarna.

Använd $x=\frac{100-2y}{y+1}$ och gå metodiskt igenom alla möjliga värden på $y$ från $1$ och uppåt.

Jag har hittat y = 5 också, men varför funkar det för vissa och inte för de andra? Jag tror det är det problemet går ut på, att bevisa varför det bara går för vissa tal.

Bra, du har hittat alla möjliga par (x, y):

(49, 1)

(32, 2)

(15, 5)

(4, 16)

(1, 33)

Orsaken till att det endast är dessa som fungerar är att alla andra lösningar består av icke-heltal och/eller icke-positiva tal.

Om uppgiften är hämtad från Matte 1 så går den endast ut på att hitta dessa lösningar, inte på att ta fram ett algebraiskt bevis för varför endast dessa lösningar är giltiga.

Den här uppgiften är läxa i en kurs som handlar om bevis, min lärare vill gärna att jag bevisar mina uträkningar. 

Vad heter kursen?

xy+x+2y är nästan samma sak som (x+2)(y+1).

Yngve skrev:

Vad heter kursen?

problemlösning 

Nichrome skrev:

problemlösning 

OK, men är det på gynnasienivå Matte 1 (som du har angivit) eller är det på någon annan nivå?

Jag tror att det är en variant av  mattespecialisering, som det finns flera olika varianter av på skolor där man har särskild matteinriktning. Jag skall jobba för att vi får en särskild flik för mattespec.

Yngve skrev:

Nichrome skrev:

problemlösning 

OK, men är det på gynnasienivå Matte 1 (som du har angivit) eller är det på någon annan nivå?

ja, jag läser det samtidigt som Ma1c

Yngve skrev:

Nichrome skrev:

problemlösning 

OK, men är det på gynnasienivå Matte 1 (som du har angivit) eller är det på någon annan nivå?

Går det att bevisa det här på något sätt? 

Jag gav ett tips en bit upp.

Laguna skrev:

Jag gav ett tips en bit upp.

ja jag skrev om det så här

(x+2)(y+1)=98 

och jag faktoriserade 98 sedan

(x+2)(y+1): 2*49

men vet fortfarande inte om det räknas som ett bevis 

Det är fel, för det ska inte vara 98 i högerledet.

Men sen är det bara att räkna upp alla faktoriseringar som är möjliga.

Laguna skrev:

Det är fel, för det ska inte vara 98 i högerledet.

Men sen är det bara att räkna upp alla faktoriseringar som är möjliga.

varför är det fel?

Du skrev: "xy+x+2y är nästan samma sak som (x+2)(y+1)."

men (x+2)(y+1) ger xy + x + 2y + 2

och då tog jag bort 2 från 100 för att det skulle funka, hur är det fel?

Du kan prova att sätta in någon lösning, så ser du.

Laguna skrev:

Du kan prova att sätta in någon lösning, så ser du.

hur annars ska jag använda tipset du gav mig? 

Felet är enklare än du tror.

xy + x + 2y = 100

(x+2)(y+1) = xy + x + 2y + 2 = 100+2

Laguna skrev:

Felet är enklare än du tror.

xy + x + 2y = 100

(x+2)(y+1) = xy + x + 2y + 2 = 100+2

men varför blir det fel att ta bort men det är rätt att lägga till 2? 

Är det alltid så?

Nichrome skrev:

men varför blir det fel att ta bort men det är rätt att lägga till 2? 

Är det alltid så?

Om du lägger till 2 på ena sidan av en ekvation så måste du lägga till 2 även på den andra sidan, annars är ju inte de båda sidorna lika stora längre.

I det här fallet utgick du från

xy + x + 2y = 100

Sedan adderar du 2 till vänsterledet, så då måste du även addera 2 till högerledet:

xy + x + 2y + 2 = 100 + 2

Nu kan du faktorisera vänsterledet:

(x + 2)(y + 1) = 102

(x+2)(x+1)= 2*51

Ja, 2*51 är ett sätt att skriva 102 som en produkt av två faktorer. Men det finns fler.

För att hitta alla sätt så kan du börja med att primtalsfaktorisera 102 fullständigt och sedan dela in dessa faktorer i två grupper på alla möjliga sätt.