Bestäm för vilka värden på b som f endast har ett nollställe

Du har kvadratkompletterat fel.

 $x^2-2bx+4\ne {(x-2)}^2$

Tillägg: 15 maj 2022 14:10

Här är ett förslag på en metod:
För att en andragradsfunktion ska ha endast ett nollställe kan du använda dig av pq-formeln eller abc-formeln och titta på diskriminanten. Jag kommer använda abc-formeln:

$\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

För oss är endast $\sqrt{b^2-4ac}$-delen intressant. Om vi kan få den att bli lika med noll så har vi lyckats.

Vi stoppar in värdena:

$$\begin{gathered} \sqrt{b^2-4·(-0.5)·(-2)}=0 \\ {b}^2-4=0 \\ {b}^2=4 \\ \therefore b=\pm 2 \end{gathered}$$

Om vi tar pq-formeln istället: andragradsekvationen  x²-2bx+4 = 0 har lösningarna $x=b\pm\sqrt{b²-4}$ så ekvationen har bara en lösning om b²-4 = 0.

Om man vill använda sig av kvadratkomplettering då som inte har en diskriminant, vart kollar man då?

Om vi vill att det endast ska finnas ett nollställe vill vi att x kan skrivas på formen $x=a\pm 0$, för något värde på $a$.

Vi måste alltså hitta ett värde på $b$ som gör att det kan skrivas så.

$$\begin{gathered} -0.5x^2+bx-2=0 \\ {x}^2-2bx+4=0 \\ {x}^2-2bx=-4 \\ {x}^2-2bx+b^2=-4+b^2 \\ {(x-b)}^2=b^2-4 \\ x-b=\pm \sqrt{b^2-4} \\ x=b\pm \sqrt{b^2-4} \\ \therefore b=\pm 2 \end{gathered}$$

Tillägg: 15 maj 2022 14:32

Men denna metoden är extremt mycket mer omständig än att bara använda pq-formeln eller abc-formeln. Jag rekommenderar att du lär dig åtminstonne en av dem.

naytte skrev:

Om vi vill att det endast ska finnas ett nollställe vill vi att x kan skrivas på formen $x=a\pm 0$, för något värde på $a$.

Vi måste alltså hitta ett värde på $b$ som gör att det kan skrivas så.

$$\begin{gathered} -0.5x^2+bx-2=0 \\ {x}^2-2bx+4=0 \\ {x}^2-2bx=-4 \\ {x}^2-2bx+b^2=-4+b^2 \\ {(x-b)}^2=b^2-4 \\ x-b=\pm \sqrt{b^2-4} \\ x=b\pm \sqrt{b^2-4} \\ \therefore b=\pm 2 \end{gathered}$$

---

Tillägg: 15 maj 2022 14:32

Men denna metoden är extremt mycket mer omständig än att bara använda pq-formeln eller abc-formeln. Jag rekommenderar att du lär dig åtminstonne en av dem.

Jag hängde med på allt ända fram till allra sista steget. Vart tog x vägen?

karisma skrev:

naytte skrev:

Om vi vill att det endast ska finnas ett nollställe vill vi att x kan skrivas på formen $x=a\pm 0$, för något värde på $a$.

Vi måste alltså hitta ett värde på $b$ som gör att det kan skrivas så.

$$\begin{gathered} -0.5x^2+bx-2=0 \\ {x}^2-2bx+4=0 \\ {x}^2-2bx=-4 \\ {x}^2-2bx+b^2=-4+b^2 \\ {(x-b)}^2=b^2-4 \\ x-b=\pm \sqrt{b^2-4} \\ x=b\pm \sqrt{b^2-4} \\ \therefore b=\pm 2 \end{gathered}$$

---

Tillägg: 15 maj 2022 14:32

Men denna metoden är extremt mycket mer omständig än att bara använda pq-formeln eller abc-formeln. Jag rekommenderar att du lär dig åtminstonne en av dem.

Jag hängde med på allt ända fram till allra sista steget. Vart tog x vägen?

∴ betyder slutsats. Vi kan alltså dra slutsatsen att $b=\pm 2$.

karisma skrev:

Om man vill använda sig av kvadratkomplettering då som inte har en diskriminant, vart kollar man då?

Man kommer fram till en diskriminant även om man kvadratkompletterar, men man måste tänka mer själv, så det är större risk att göra fel.

Om man vill göra livet svårt för sig (enligt min åsikt) och kvadratkomplettera istället, så får man 

x²-2bx+4 = 0

(x-b)²-b²+4 = 0

(x-b)² = 4-b²  b²-4 nu har man diskriminanten  i HL.

EDIT: fixade felskrivning

Smaragdalena skrev:

karisma skrev:

Om man vill använda sig av kvadratkomplettering då som inte har en diskriminant, vart kollar man då?

Man kommer fram till en diskriminant även om man kvadratkompletterar, men man måste tänka mer själv, så det är större risk att göra fel.

Om man vill göra livet svårt för sig (enligt min åsikt) och kvadratkomplettera istället, så får man 

x²-2bx+4 = 0

(x-b)²-b²+4 = 0

(x-b)² = 4-b², nu har man diskriminanten  i HL.

Jag tror du skrev fel på sista raden, borde det inte bli $+b^2$?

Eftersom att både naytte och smaragdalena tycker att det är krångligare med kvadratkomplettering och säger att jag borde lära mig pq-formeln så har jag gjort det nu. Jag är van vid att använda kvadratkomplettering, men nu har jag tagit mig tiden att även lära mig pq-formeln eftersom så många säger att det är så mycket enklare. Det kanske ändå var bäst på tiden att jag lärde mig pq-formeln med tanke på att jag har nationella prov i ma2c på Fredag (men jag trodde jag kunde ta mig igenom NP utan att kunna pq-formeln, endast med hjälp av kvadratkomplettering, men jag kanske ändå inte kan det…)

Allt som går att lösa med pq-formeln går att lösa med kvadratkomplettering  också.

Jo jag vet, det var därför jag endast har använt mig av kvadratkomplettering fram tills nu. Men eftersom så många hela tiden säger att det är krångligare med kvadratkomplettering så tog jag och lärde mig pq-formeln också.