Bestäm formel för geometrisk talföljd (Matte 5 uppgift: 2212)

Talföljden är :     2    4    8    16    32    64     128

Då stämmer formel 1

Men de andra formlerna stämmer inte, t.ex Formel 2 (beräknad differens) för n = 3  ( $a_3 = 8$ )

$a_{3+1 }- a_3 = 2 · 3 - 2$

$16 - 8 = 2 · 3 - 2$        <---- det blir ju fel

För att formel 2 skall gälla skall endast dem tre första nivåerna vara gemensamma, d.v.s $a_1,a_2,a_3.$

Martin Berglund skrev :

För att formel 2 skall gälla skall endast dem tre första nivåerna vara gemensamma, d.v.s $a_1,a_2,a_3.$

Menar du att talföljden innehåller bara de tre talen 2, 4, 8  ??  

Martin Berglund skrev :

För att formel 2 skall gälla skall endast dem tre första nivåerna vara gemensamma, d.v.s $a_1,a_2,a_3.$

Det blir fel då med.

Sätt n=1       $a_{1+1 }- a_{1 }= 2·1 - 2$

                         $4 - 2 = 2·1 - 2$      <---- det blir ju också fel

larsolof skrev :

Martin Berglund skrev :

För att formel 2 skall gälla skall endast dem tre första nivåerna vara gemensamma, d.v.s $a_1,a_2,a_3.$

Det blir fel då med.

Sätt n=1       $a_{1+1}-a_1=2·1-2$

                         $4-2=2·1-2$      <---- det blir ju också fel

Korrektion formel 2 (beräknad differens) $a_n-a_{n-1}=2n-2$, då skall det stämma.

Martin Berglund skrev :

larsolof skrev :

Visa föregående citat

Martin Berglund skrev :

För att formel 2 skall gälla skall endast dem tre första nivåerna vara gemensamma, d.v.s $a_1,a_2,a_3.$

Det blir fel då med.

Sätt n=1       $a_{1+1}-a_1=2·1-2$

                         $4-2=2·1-2$      <---- det blir ju också fel

Korrektion formel 2 (beräknad differens) $a_n-a_{n-1}=2n-2$, då skall det stämma.

Nej, det stämmer inte. Det stämmer för n=2  och n=3 men det stämmer inte högre upp.

Du skrev tidigare "För att formel 2 skall gälla skall endast dem tre första nivåerna vara gemensamma, d.v.s $a_1,a_2,a_3.$"

Men uppgiften är "Finn två olika formler som ger en talföljd som börjar: 2, 4, 8, ...."

En talföljd är utan slut. I detta fall   2  4  8  16  32  64  128  osv

                   $a_n - a_{n-1} = 2n - 2$

n=4  ger   16 - 8 = 2x4 - 2           8 = 6
n=5 ger     32 - 16 = 2x5 - 2        16 = 8

Men,

de två formlerna ger olika talföljder som båda börjar med $2, 4, 8 \cdots$.

Formel 1 ger: $2, 4, 8, 16, 32, 64 \cdots$

Formel 2 ger: $2, 4, 8, 14, 22, 32 \cdots$

pi-streck=en-halv skrev :

Men,

de två formlerna ger olika talföljder som båda börjar med $2, 4, 8 \cdots$.

Formel 1 ger: $2, 4, 8, 16, 32, 64 \cdots$

Formel 2 ger: $2, 4, 8, 14, 22, 32 \cdots$

Precis, men hur kommer man fram till formel 2?

Vet inte om det finns någon generell metod, förutom att gissa och visa att det stämmer.

Om vi antar ett polynom med högst $n^2$.

$p(n) = An^2 + Bn + C$

1. $p(1) = A + B + C = 2$

2. $p(2) = 4A + 2B + C = 4$

3. $p(3) = 9A + 3B + C = 8$

Har lösningarna $A = 1, B = -1, C = 2$

Du Martin skriver i uppgiften högst upp

"Formel 2 (enligt boken)    $a_{n }= n(n-1) + 2$  "

Vad är det för bok?  Den formeln ger också fel.

n=1    ger    a=2
n=2    ger    a=4
n=3    ger    a=8
n=4    ger    a=14     (ska vara 16)
n=5    ger    a=22     (ska vara 32)

larsolof skrev :

Du Martin skriver i uppgiften högst upp

"Formel 2 (enligt boken)    $a_{n }= n(n-1) + 2$  "

Vad är det för bok?  Den formeln ger också fel.

n=1    ger    a=2
n=2    ger    a=4
n=3    ger    a=8
n=4    ger    a=14     (ska vara 16)
n=5    ger    a=22     (ska vara 32)

Hur vet du vad fjärde och femte elementet ska vara när du bara sett de tre första?

Står i uppgiften:

$a_n = 2^n$

larsolof skrev :

Står i uppgiften:

$a_n = 2^n$

Okej,

Jag tolkar uppgiften som endast detta:
"Finn två olika formler som ger en talföljd som börjar: 2, 4,8,...."

Lösningen ges av:

Formel 1

Formel 2

Talföljd som börjar:  2, 4, 8, .... 

Den fortsätter alltså, och det ligger ju också i begreppet talföljd

larsolof skrev :

Talföljd som börjar:  2, 4, 8, .... 

Den fortsätter alltså, och det ligger ju också i begreppet talföljd

Talföljden som definieras av $b_n = n(n-1) + 2$ börjar med $2,4,8$ och fortsätter sedan med $14, 22, 32$... i all oändlighet.

Den stämmer inte med    $a_{n }= 2^n$

:)

Jag förstår på riktigt inte varför du kräver att $a_n = 2^n$.

Det är ju bara en av de två olika talföljderna som börjar med $2,4,8 ...$.

pi-streck=en-halv skrev :

:)

Jag förstår på riktigt inte varför du kräver att $a_n = 2^n$.

Det är ju bara en av de två olika talföljderna som börjar med $2,4,8 ...$.

Jag börjar tro att du har rätt.
Jag har läst uppgiften som "Finn två olika formler som ger en talföljd som börjar: 2, 4, 8, ...."
Om uppgiften menar "Finn två olika formler som ger talföljder som börjar: 2, 4, 8, ...."
så blir det som du menar.

Vore roligt att se vad Martin kan berätta om vad det står i facit.

Det har Martin Berglund berättat redan i sitt första inlägg. Läs! Hans fråga är hur man kommer fram till den andra formeln.