18 svar
185 visningar
lamayo är nöjd med hjälpen
lamayo 2533
Postad: 19 maj 2020 10:57

bestäm om den är deriverbar

Låt f(x)=xsin(1x), x00, x=0. Ange huruvida f(x) är kontinuerlig och deriverbar på R. 

Jag har visat att f(x) är kontinuerlig. Däremot hur jag ska visa om den är deriverbar eller inte har jag problem med. Jag kollar i facit och där skriver dem att eftersom derivatan av (xsin(1/x)) ej är definierad i x=0 är den inte deriverbar. Men f(x) är inte lika med (xsin(1/x)) i x=0 utan 0 då. Så varför gör man så?

Tacksam för hjälp!

Derivera uttrycket du har för f(x). Vad händer med värdet av derivatan när x går mot noll från höger? Från vänster?

lamayo 2533
Postad: 20 maj 2020 13:25
Smutstvätt skrev:

Derivera uttrycket du har för f(x). Vad händer med värdet av derivatan när x går mot noll från höger? Från vänster?

Den existerar inte men hur vet jag att jag ska undersöka just när den går mot 0?

Du har ett uttryck för f(x) för alla x utom noll. Det uttrycket vet vi är deriverbart, eftersom det består av deriverbara funktioner, förutom då x = 0. Vi vet även att f(x) har en annan definition i x = 0, och därför måste vi kontrollera om deriverbarhet gäller då x = 0.

lamayo 2533
Postad: 20 maj 2020 13:51
Smutstvätt skrev:

Du har ett uttryck för f(x) för alla x utom noll. Det uttrycket vet vi är deriverbart, eftersom det består av deriverbara funktioner, förutom då x = 0. Vi vet även att f(x) har en annan definition i x = 0, och därför måste vi kontrollera om deriverbarhet gäller då x = 0.

men f(x) är ju 0 i x=0 så f´(0) borde väll vara 0??

Jag är inte hundra på definitionen, men problemet är att när du närmar dig x = 0 kommer höger- och vänstergränsvärdet inte vara lika. Prova gärna! :)

Dr. G 6728
Postad: 20 maj 2020 14:08 Redigerad: 20 maj 2020 14:08

Om derivatan existerar för x = 0 så är den

f'(0)=limh0f(0+h)-f(0)hf'(0) = \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}

Ställ upp HL och förenkla. Vad händer?

lamayo 2533
Postad: 20 maj 2020 19:36
Dr. G skrev:

Om derivatan existerar för x = 0 så är den

f'(0)=limh0f(0+h)-f(0)hf'(0) = \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}

Ställ upp HL och förenkla. Vad händer?

eftersom f(x)=0 då x=0 är derivatan 0 ju?

dioid 181
Postad: 20 maj 2020 19:38

Nej, det betyder bara att f(0) i uttrycket som Dr. G skrev är 0. Sätt nu in f(0 + h) och dela med h och förenkla. Existerar gränsvärdet då h går mot 0? I så fall är f deriverbar i 0.

lamayo 2533
Postad: 20 maj 2020 19:39
Smutstvätt skrev:

Jag är inte hundra på definitionen, men problemet är att när du närmar dig x = 0 kommer höger- och vänstergränsvärdet inte vara lika. Prova gärna! :)

men det är väll 0, f(x) är ju 0 då x=0? förstår inte varför man kollar f´(0) för xsin(1/x) när x=0 inte ens ingår i dess definitionsmängd.

Laguna 15072
Postad: 20 maj 2020 19:41
lamayo skrev:
Smutstvätt skrev:

Jag är inte hundra på definitionen, men problemet är att när du närmar dig x = 0 kommer höger- och vänstergränsvärdet inte vara lika. Prova gärna! :)

men det är väll 0, f(x) är ju 0 då x=0? förstår inte varför man kollar f´(0) för xsin(1/x) när x=0 inte ens ingår i dess definitionsmängd.

Vad derivatan är i en punkt beror inte bara på funktionsvärdet i den punkten. 

lamayo 2533
Postad: 20 maj 2020 19:42
dioid skrev:

Nej, det betyder bara att f(0) i uttrycket som Dr. G skrev är 0. Sätt nu in f(0 + h) och dela med h och förenkla. Existerar gränsvärdet då h går mot 0? I så fall är f deriverbar i 0.

Men om f(0)=0 är ju f´(0)=0 förstår inte hur det inte är så :/

lamayo 2533
Postad: 20 maj 2020 19:43
Laguna skrev:
lamayo skrev:
Smutstvätt skrev:

Jag är inte hundra på definitionen, men problemet är att när du närmar dig x = 0 kommer höger- och vänstergränsvärdet inte vara lika. Prova gärna! :)

men det är väll 0, f(x) är ju 0 då x=0? förstår inte varför man kollar f´(0) för xsin(1/x) när x=0 inte ens ingår i dess definitionsmängd.

Vad derivatan är i en punkt beror inte bara på funktionsvärdet i den punkten. 

Aaa det är ju solklart egentligen. Jag fattar nu tack så jättemkt!!

dioid 181
Postad: 20 maj 2020 19:43

Nej, värdet i en enstaka punkt bestämmer inte derivatan, du behöver kolla på värden i en omgivning till punkten.

 

Om f(x) = x^2 - 4 då x != 2 och f(2) = 0, skulle du säga att f'(2) = 0 eftersom f(2) = 0? Observera att den funktionen sammanfaller med f(x) = x^2 - 4 för alla x, vad har den för derivata då x = 2?

lamayo 2533
Postad: 20 maj 2020 19:44
dioid skrev:

Nej, värdet i en enstaka punkt bestämmer inte derivatan, du behöver kolla på värden i en omgivning till punkten.

 

Om f(x) = x^2 - 4 då x != 2 och f(2) = 0, skulle du säga att f'(2) = 0 eftersom f(2) = 0? Observera att den funktionen sammanfaller med f(x) = x^2 - 4 för alla x, vad har den för derivata då x = 2?

kom på det nu, tack!!

mattenjutaren 33
Postad: 20 maj 2020 19:57

Villkoret för att en funktion ska vara deriverbar i en punkt är att höger- och vänsterderivatan existerar och är lika i punkten.

Högerderivatan: limh0+f(0+h)-f(0)hdär man med 0+ menar mindre och mindre positiva värden på h. Motsvarande 0- för vänsterderivatan är mindre och mindre negativa värden på h.

lamayo 2533
Postad: 20 maj 2020 20:01
mattenjutaren skrev:

Villkoret för att en funktion ska vara deriverbar i en punkt är att höger- och vänsterderivatan existerar och är lika i punkten.

Högerderivatan: limh0+f(0+h)-f(0)hdär man med 0+ menar mindre och mindre positiva värden på h. Motsvarande 0- för vänsterderivatan är mindre och mindre negativa värden på h.

tack så mkt! :)

Dr. G 6728
Postad: 20 maj 2020 21:54 Redigerad: 20 maj 2020 21:55
lamayo skrev:
Dr. G skrev:

Om derivatan existerar för x = 0 så är den

f'(0)=limh0f(0+h)-f(0)hf'(0) = \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}

Ställ upp HL och förenkla. Vad händer?

eftersom f(x)=0 då x=0 är derivatan 0 ju?

Vi utgår från att derivatan existerar. I så fall

f'(0)=limh0f(0+h)-f(0)h=limh0hsin1h-0h=limh0sin1hf'(0) = \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{h\sin\frac{1}{h}-0}{h} =\lim_{h\rightarrow 0} \sin\frac{1}{h}

Gränsvärdet existerar dock inte. Varför?

lamayo 2533
Postad: 21 maj 2020 10:09
Dr. G skrev:
lamayo skrev:
Dr. G skrev:

Om derivatan existerar för x = 0 så är den

f'(0)=limh0f(0+h)-f(0)hf'(0) = \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}

Ställ upp HL och förenkla. Vad händer?

eftersom f(x)=0 då x=0 är derivatan 0 ju?

Vi utgår från att derivatan existerar. I så fall

f'(0)=limh0f(0+h)-f(0)h=limh0hsin1h-0h=limh0sin1hf'(0) = \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{h\sin\frac{1}{h}-0}{h} =\lim_{h\rightarrow 0} \sin\frac{1}{h}

Gränsvärdet existerar dock inte. Varför?

om h går mot 0 kommer vinkeln gå mot oändligheten?

Svara Avbryt
Close