Bestäm vektorer som tillhör col(A) och col(B)?

Du har tagit fram en vektor i båda rummen (även om jag inte kontrollräknat). De vill att du ska hitta alla vektorer i båda rummen. Vad representerar A respektive B?

pepparkvarn skrev:

Du har tagit fram en vektor i båda rummen (även om jag inte kontrollräknat). De vill att du ska hitta alla vektorer i båda rummen. Vad representerar A respektive B?

Jag tänkte att det bara fanns en i det här fallet. Hur ser man resterande?

Vad är A, rent geometriskt? Vad är B? Hur sammanfaller de i rummet?

pepparkvarn skrev:

Vad är A, rent geometriskt? Vad är B? Hur sammanfaller de i rummet?

Kom såhär långt... försökte kanske få fram linjen där planen korsar och då kan man ju säga att spannet för linjen är svaret... men vet inte hur jag ska få fram den linjen och om det ens är rätt tänkt?

Bra jobbat så långt! Det är korrekt att både $\mathrm{col}(A)$ och $\mathrm{col}(B)$ är plan genom origo, och två sådana plan kommer antingen vara identiska eller skära varandra längs en linje. Du har redan konstaterat att de inte kan vara identiska eftersom de normalerna du fick fram inte är parallella*. Alltså måste snittet vara just en rät linje.

Hur får man fram den här räta linjen då? Som alltid när man vill bestämma rät linje så räcker det att du hittar en nollskild vektor som ligger på linjen. Hela linjen kommer då ges av spannet av den vektorn!

Kan du kanke bara genom att titta på matriserna hitta en vektor som ligger i båda kolumnrummen genom lite trial and error?

Om du inte lyckas, eller känner för att vara lite mer systematisk, så kan du utnyttja att varje vektor $(x,y,z)\in \mathrm{col}(A)\cap\mathrm{col}(B)$ kommer vara vinkelrät mot båda normalerna, alltså mot både $(-2,-2,-2)$ och $(1,0,-1)$. Den kommer alltså uppfylla både $(-2,-2,-2)\boldsymbol{\cdot}(x,y,z)=0$ och $(1,0,-1)\boldsymbol{\cdot}(x,y,z)=0$, vilket ger oss systemet

$\left\{\begin{matrix}-2x-2y-2z=0\\x-z=0\,,\end{matrix}\right.$

som du kan gaussa dig fram till en lösning av.

* Notera att du råkade skriva att planen inte kan vara identiska eftersom normalvektorerna du fick fram inte är samma. Detta är felaktigt. Kom ihåg att ett plan inte har en unik normal!

Det som däremot gäller är följande:

Antag att $\pi$ och $\tau$ är plan genom origo, att $\mathbf{n}$ är en normal till $\pi$, och att $\mathbf{m}$ är en normal till $\tau$.
Då är $\pi=\tau$ om och endast om $\mathbf{n}$ och $\mathbf{m}$ är parallella.