Bestäm vinkel theta (Fysik/Universitet)

Rörelsemängdsmomentets z-komponent bevaras eftersom kraftmomentets z-komponent är noll.

I cylinderkoordinater.

H_z = $m r^{2} \dot{φ} = m r v_{φ}$ = konst = $\frac{m R v_{0}}{2}$ .

$R \vec{v} \cdot {\vec{e}}_{φ} = R v \cos θ = \frac{R v_{0}}{2}$

$\cos θ = \frac{v_{0}}{2 v}$ .

Energi.

$\frac{v_{0}^{2}}{2} = \frac{v^{2}}{2} + \frac{g h}{2}$

$v = \sqrt{v_{0}^{2} - g h}$ .

Kommer du vidare?

PATENTERAMERA skrev:
Rörelsemängdsmomentets z-komponent bevaras eftersom kraftmomentets z-komponent är noll.

I cylinderkoordinater.

H_z = $m r^{2} \dot{φ} = m r v_{φ}$ = konst = $\frac{m R v_{0}}{2}$ .

$R \vec{v} \cdot {\vec{e}}_{φ} = R v \cos θ = \frac{R v_{0}}{2}$

$\cos θ = \frac{v_{0}}{2 v}$ .

Energi.

$\frac{v_{0}^{2}}{2} = \frac{v^{2}}{2} + \frac{g h}{2}$

$v = \sqrt{v_{0}^{2} - g h}$ .

Kommer du vidare?

1)Hur vet man att mg:s kraftmoment i z-led är 0?

2)Vi har ju även normalkraften som partikeln påverkas av. Vi behöver väl räkna ut dess kraftmoment för att säkerställa att den blir 0 för att dra slutsats att rörelsemängdsmoment bevaras?

3) Jag hade ju en uppställning i min lösning med roA samt roB. Hur får man fram dem?

1) Tyngdkraften är parallell med z-axeln. Kraftmomentet är därför ortogonalt mot z-axeln.

2) Eftersom både normalkraft och ortsvektor är ortogonala mot ${\vec{e}}_{φ}$ så är kraftmomentet parallellt med ${\vec{e}}_{φ}$ , och därmed ortogonalt mot z-axeln.

3) Tänk på att i cylinderkoordinater så är r avståndet till z-axeln.

PATENTERAMERA skrev:
1) Tyngdkraften är parallell med z-axeln. Kraftmomentet är därför ortogonalt mot z-axeln.

2) Eftersom både normalkraft och ortsvektor är ortogonala mot ${\vec{e}}_{φ}$ så är kraftmomentet parallellt med ${\vec{e}}_{φ}$ , och därmed ortogonalt mot z-axeln.

3) Tänk på att i cylinderkoordinater så är r avståndet till z-axeln.

1) Ok. Men hur vet du att kraftmomentet är ortogonalt mot z-axeln? Jag känner mig inte övertygad då jag inte har räknat på detta. Jag satt och tänkte på M_O=r×mg(0,0,-1) men här vet jag inte vad ortsvektorn till mg är förutom (x,y,-z)

2) jag förstår inte hur man kan tänka så. Vad är ens ortsvektorn till normalkraften? Den är väl parallell med normalkraften och då finns det väl inget moment eller den moment är ju då 0 om vi tänker att vi utgår från origo?

3) måste man använda cylinder koordinater här? Vi vet ju inte ens vinkelhastighet. Kan man inte bilda någon rätvinklig triangel där hypotenusan är typ r_OA och och kateten är h/2

1) M = r x F_g är ortogonal mot F_g. Och eftersom F_g är parallell mot z-axeln så är M ortogonal mot z-axeln.

2) Det är ortsvektorn (räknat från origo) till den punkt där partikeln befinner sig.

3) Cylinderkoordinater är nog lämpligt här.

PATENTERAMERA skrev:
1) M = r x F_g är ortogonal mot F_g. Och eftersom F_g är parallell mot z-axeln så är M ortogonal mot z-axeln.

2) Det är ortsvektorn (räknat från origo) till den punkt där partikeln befinner sig.

3) Cylinderkoordinater är nog lämpligt här.

1) Ja men hur vet man det utan att ha kontrollräknat på detta? Hur listar man ut det? Funkar det med resonemanget jag skrev om r_OAxFg=(x,y,-z)×mg(0,0,-1)?

2) jo jag vet. Så den vektorn är parallell med Normalkraften på partikeln och alltså är kraftmomentet 0?

3) Ok men vi känner inte till vinkelhastighet? Det är ju ett problem. Om vi skriver r_OA i cylinderkoordinater så får vi r_OA=re_r+ze_z där r och z är okända.

1) Ja det duger om man inte inser det direkt.

2) Ortsvektorn är inte parallell med N, men båda är ortogonala mot ${\vec{e}}_{φ}$ .

3) Vi vet att H_z är konstant. I A så är H_z = mRv₀/2.

PATENTERAMERA skrev:
1) Ja det duger om man inte inser det direkt.

2) Ortsvektorn är inte parallell med N, men båda är ortogonala mot ${\vec{e}}_{φ}$ .

3) Vi vet att H_z är konstant. I A så är H_z = mRv₀/2.

1) Ok

2) jag förstår inte hur man ska tänka med normalkraften isåfall. Dennes ortsvektor är samma för mg ,så förstår ej varför den inte är parallell med normalkraften? Normalkraften har ju komponenter i z och y-axeln

3) jag vet inte hur du har räknat och hur man ska räkna. Jag har fastnat på hur man ska ta fram r_OA

2) Rita en figur.

3) I A så gäller r = R/2 och z = h/2.

PATENTERAMERA skrev:
2) Rita en figur.

3) I A så gäller r = R/2 och z = h/2.

2) jag vet inte hur den figuren ska se ut.

3) men hur fick du fram dessa ?

3) Det står att A befinner sig på halva konens höjd.

PATENTERAMERA skrev:
3) Det står att A befinner sig på halva konens höjd.

Om vi är på botten är 0 så kommer A att ha h/2 i z-led , men jag vet fortfarande inte hur du får r=R/2 i e_r riktning?

Den befinner sig på den koniska ytan.

PATENTERAMERA skrev:
Den befinner sig på den koniska ytan.

Vad menas med koniska ytan??

Gissa.

PATENTERAMERA skrev:
Gissa.

Den cirkulära ytan?

PATENTERAMERA skrev:
2) Rita en figur.

3) I A så gäller r = R/2 och z = h/2.

Ok r_OA verkar inte vara parallell med N men om vi drar en ortsvektor till Normalkraften och tar kryssprodukten mellan dess komponenter och den dvs rxN=(re_r+ze_z)x(Ne_r+Ne_z) så får man ju N(r-z)e_phi

destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Gissa.

Den cirkulära ytan?

Du har en kon, som en glasskon. Partikeln befinner sig hela tiden på insidan av "glasskonen".

destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
2) Rita en figur.

3) I A så gäller r = R/2 och z = h/2.

Ok r_OA verkar inte vara parallell med N men om vi drar en ortsvektor till Normalkraften och tar kryssprodukten mellan dess komponenter och den dvs rxN=(re_r+ze_z)x(Ne_r+Ne_z) så får man ju N(r-z)e_phi

Man skulle kanske ansätta att $\vec{N} = N_{r} {\vec{e}}_{r} + N_{z} {\vec{e}}_{z}$ , för att vara mer generell, men man får ändock att momentet är parallellt med e_phi, och därmed ortogonalt om z-axeln. Så ingen z-komponent hos momentet.

PATENTERAMERA skrev:
destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
2) Rita en figur.

3) I A så gäller r = R/2 och z = h/2.

Ok r_OA verkar inte vara parallell med N men om vi drar en ortsvektor till Normalkraften och tar kryssprodukten mellan dess komponenter och den dvs rxN=(re_r+ze_z)x(Ne_r+Ne_z) så får man ju N(r-z)e_phi

Man skulle kanske ansätta att $\vec{N} = N_{r} {\vec{e}}_{r} + N_{z} {\vec{e}}_{z}$ , för att vara mer generell, men man får ändock att momentet är parallellt med e_phi, och därmed ortogonalt om z-axeln. Så ingen z-komponent hos momentet.

Jag tror inte jag förstår hur momentet blir parallell med ephi om momentet som resultatet är riktad i ephi? Det sista du skrev med att den är ortgonal mot z-axeln förstår jag icke.

PATENTERAMERA skrev:
destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Gissa.

Den cirkulära ytan?

Du har en kon, som en glasskon. Partikeln befinner sig hela tiden på insidan av "glasskonen".

Hur då? Ska man tänka att konen omges av cirklar ända upp till toppen?

Ja, det är cirklar i plan som är parallella med xy-planet. Om det är det du menar.

PATENTERAMERA skrev:
Ja, det är cirklar i plan som är parallella med xy-planet. Om det är det du menar.

Ja precis såhär menar jag. Då kan vi se att i punkten A så har vi z=h/2 och r=R/2 så r_oA=R/2e_r+h/2ez

destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
2) Rita en figur.

3) I A så gäller r = R/2 och z = h/2.

Ok r_OA verkar inte vara parallell med N men om vi drar en ortsvektor till Normalkraften och tar kryssprodukten mellan dess komponenter och den dvs rxN=(re_r+ze_z)x(Ne_r+Ne_z) så får man ju N(r-z)e_phi

Man skulle kanske ansätta att $\vec{N} = N_{r} {\vec{e}}_{r} + N_{z} {\vec{e}}_{z}$ , för att vara mer generell, men man får ändock att momentet är parallellt med e_phi, och därmed ortogonalt om z-axeln. Så ingen z-komponent hos momentet.

Jag tror inte jag förstår hur momentet blir parallell med ephi om momentet som resultatet är riktad i ephi? Det sista du skrev med att den är ortgonal mot z-axeln förstår jag icke.

men om vi får ett moment i e_phi riktning som jag nämnde efter att man tog kryssprodukt mellan N och roA , betyder det då att det momentet saknar en ez komponent då den är 0 och därför kraftmomentet är ortogonal mot ez?

${\vec{e}}_{φ} ⊥ {\vec{e}}_{z}$ . Så z-komponenten blir noll. Precis.

PATENTERAMERA skrev:
${\vec{e}}_{φ} ⊥ {\vec{e}}_{z}$ . Så z-komponenten blir noll. Precis.

Ok då förstår jag.

destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Ja, det är cirklar i plan som är parallella med xy-planet. Om det är det du menar.

Ja precis såhär menar jag. Då kan vi se att i punkten A så har vi z=h/2 och r=R/2 så r_oA=R/2e_r+h/2ez

Men när vi tar rörelsemängsmomentet , hur ska vi hantera v0 som vi ej vet vilken riktning den är?

Notera att likformiga trianglar ger att r/z = R/h.

PATENTERAMERA skrev:
Notera att likformiga trianglar ger att r/z = R/h.

Jag förstår inte vad detta har att göra med rörelsemängdsmomentet. Vi vill ju räkna ut H_A och sen likställa med H_B pga rörelsemängdsmoment bevarande, men vi vet ju först inte vad r_OA är ännu. ro_A=rer+zez=R/2e_r+h/2ez

Bra. Men det förklarar varför r_A = R/2 om z_A = h/2.

$\frac{\vec{H}}{m} = \vec{r} \times (v_{r} {\vec{e}}_{r} + v_{φ} {\vec{e}}_{φ} + v_{z} {\vec{e}}_{z}) = (r {\vec{e}}_{r} + z {\vec{e}}_{z}) \times (v_{r} {\vec{e}}_{r} + v_{φ} {\vec{e}}_{φ} + v_{z} {\vec{e}}_{z}) = . . .$

PATENTERAMERA skrev:
Notera att likformiga trianglar ger att r/z = R/h.

Jag har lite svårt att inse varför vi ska använda detta för att beräkna rörelsemängdsmoment i A. Jag tror inte jag förstår figuren

Fortsätt på det som jag skrev i #31.

PATENTERAMERA skrev:
Fortsätt på det som jag skrev i #31.

Jag såg det men det är en lite för lång väg.

Det är bara lite algebra.

PATENTERAMERA skrev:
Det är bara lite algebra.

Men du införde en geometri innan. Är det ej en snabbare väg vid tentasituationer?

Det bygger på att man redan vet uttrycket för H_z. Men från #31 kan du härleda det själv.

PATENTERAMERA skrev:
Bra. Men det förklarar varför r_A = R/2 om z_A = h/2.

$\frac{\vec{H}}{m} = \vec{r} \times (v_{r} {\vec{e}}_{r} + v_{φ} {\vec{e}}_{φ} + v_{z} {\vec{e}}_{z}) = (r {\vec{e}}_{r} + z {\vec{e}}_{z}) \times (v_{r} {\vec{e}}_{r} + v_{φ} {\vec{e}}_{φ} + v_{z} {\vec{e}}_{z}) = . . .$

Om jag förstår rätt så använder du v0:s komponenter i e_r , ez och ephi för att göra kryss produkt mellan r_OA samt v0?

Obs detta är en generell härledning som vi sedan kan tillämpa på vårt problem.

Visa att man får att $\frac{H_{z}}{m} = r v_{φ}$ .

PATENTERAMERA skrev:
Obs detta är en generell härledning som vi sedan kan tillämpa på vårt problem.

Visa att man får att $\frac{H_{z}}{m} = r v_{φ}$ .

Men jag förstår inte den här härledningen eller vart vi är på väg. Du använder definitionen av rörelsemängdsmomentet. Hur vet du vilka komponenter v har ? Du skriver att de är i e_r , ephi och e_z? Vad r har för komponenter är ju känd i A.

Vi vet att M_z är noll; det betyder att H_z (eller Hz/m) är konstant.

Jag hävdar att $\frac{H_{z}}{m} = r v_{φ}$ . Utgå från #31 och visa att detta stämmer.

Alltså är $r v_{φ}$ en rörelsekonstant.

PATENTERAMERA skrev:
Vi vet att M_z är noll; det betyder att H_z (eller Hz/m) är konstant.

Jag hävdar att $\frac{H_{z}}{m} = r v_{φ}$ . Utgå från #31 och visa att detta stämmer.

Alltså är $r v_{φ}$ en rörelsekonstant.

Ok men hur vet du att v är i e_phi komponent? Varför antar du ens att v0=ver+vez+vephi. Tittar man på v_0 är den bara i e_r och ez. Jag skulle dock visa r_OA×v_A=(rer+rez)×(v0er+v0ez)

Detta är vad jag får.

Obs jag vill att du räknar ut det generellt först och sedan tillämpar det på A och B.

Du har dessutom fel på v₀.

Tillägg: 1 jun 2026 16:11

${\vec{v}}_{0} = v_{0} {\vec{e}}_{φ}$

PATENTERAMERA skrev:
Obs jag vill att du räknar ut det generellt först och sedan tillämpar det på A och B.

Du har dessutom fel på v₀.

Tillägg: 1 jun 2026 16:11

${\vec{v}}_{0} = v_{0} {\vec{e}}_{φ}$

Okej jag vet inte varför v är i dessa komponenter medan r saknar komponent i ephi och har bara komponenter i z och e_r. Hur kan man avläsa från figuren att v0 är riktad i e_phi?

Det står att hastigheten i A är horisontell. Därför så måste v_z = $\dot{z} = 0$ .

Men sedan vet vi att r = Rz/h. Men då måste vi även ha v_r = $\dot{r} = 0$ .

Ja, då är enda möjligheten det som jag sa.

PATENTERAMERA skrev:
Det står att hastigheten i A är horisontell. Därför så måste v_z = $\dot{z} = 0$ .

Men sedan vet vi att r = Rz/h. Men då måste vi även ha v_r = $\dot{r} = 0$ .

Ja, då är enda möjligheten det som jag sa.

Jag förstår inte riktigt nu. Jag börjar bli förvirrad...

PATENTERAMERA skrev:

Vad är felet här?

Det skall vara 0 där du skrev z och z där du skrev 0.

PATENTERAMERA skrev:
Det skall vara 0 där du skrev z och z där du skrev 0.

det ska ju vara r=re_r+zez? Men du har fortfarande inte förklarat varför vi saknar en ephi komponent.

Ja.

Kolla upp hur ortsvektorn $\vec{r}$ blir i cylinderkoordinater. Den har ingen phi-komponent.

PATENTERAMERA skrev:
Kolla upp hur ortsvektorn $\vec{r}$ blir i cylinderkoordinater. Den har ingen phi-komponent.

i kursboken saknar den en phi komponent enligt hur den definieras.

PATENTERAMERA skrev:

Det verkar vara tekniska problem med att ladda upp bilder här, så jag skriver ned vad jag fått från kryssprodukten. Eftersom hastigheten är horisontell i A så har den bara en e_r komponent och alla andra komponenter är 0. Min gissning är att H_A blir då mh/2*v0

m(-zv_phi,zv_r-rv_z,rv_phi)

Nej, som jag sa, i A gäller $v_{r} = v_{z} = 0, v_{φ} = v_{0}$ .

Du har visat att H_z/m = $r v_{φ}$ . Detta är en rörelsekonstant.

Vi tittar speciellt på A.

$v_{φ} (A) = v_{0}$ , r_A = R/2.

H_z/m = konstant = Rv₀/2.

Vi tittar på B

r_B = R. $v_{φ} (B) = \vec{v} \cdot {\vec{e}}_{φ} (B) = v \cos θ$ .

Således: $R v \cos θ = \frac{R v_{0}}{2} \Rightarrow \cos θ = \frac{v_{0}}{2 v}$ .

PATENTERAMERA skrev:
Nej, som jag sa, i A gäller $v_{r} = v_{z} = 0, v_{φ} = v_{0}$ .

Du har visat att H_z/m = $r v_{φ}$ . Detta är en rörelsekonstant.

Vi tittar speciellt på A.

$v_{φ} (A) = v_{0}$ , r_A = R/2.

H_z/m = konstant = Rv₀/2.

Vi tittar på B

r_B = R. $v_{φ} (B) = \vec{v} \cdot {\vec{e}}_{φ} (B) = v \cos θ$ .

Således: $R v \cos θ = \frac{R v_{0}}{2} \Rightarrow \cos θ = \frac{v_{0}}{2 v}$ .

Jag tror vi får ta en sak i taget för jag förstår inte riktigt nu. Det jag har kommit fram till från kryssprodukten ska vi ju jämföra med hastigheterna i A och B. Det står ju i uppgiften att v₀ är horisontell i A. Min tolkning är att om en hastighet är horisontell så är den bara i den riktningen och då måste vi lista ut vilka av komponenterna från kryssprodukten som lär överleva och vi ser endast v_r är horisontell. Men om v0 är horisontell betyder något annat vet jag inte.

Ja den är horisontell. Ingen vertikal hastighet. z-prick = 0. Men eftersom partikeln rör sig på konen där det gäller att r = zR/h så måste även r-prick vara noll om z-prick är noll.

Således gäller det som jag sa i #58.

PATENTERAMERA skrev:
Ja den är horisontell. Ingen vertikal hastighet. z-prick = 0. Men eftersom partikeln rör sig på konen där det gäller att r = zR/h så måste även r-prick vara noll om z-prick är noll.

Således gäller det som jag sa i #58.

Tyvärr förstår jag inte det här. Hur ska man begripa detta? Jag förstår inte riktigt hur man ska tänka gällande v0 längre. Den är horisontell vilket innebär att vi saknar att v_z komponent och även v_phi komponent och då överlever bara v_r. Jag tolkar inte horisontell hastighet som att v_r är 0 och bara v_phi överlever.

I cylinderkoordinater så kan vi skriva konen som r = zR/h, 0 < z < h. Se #29.

Eftersom hastigheten är horisontell i A så är den vertikala hastigheten, z-prick, noll.

Men eftersom det gäller att r-prick = z-prickR/h så är även r-prick noll.

PATENTERAMERA skrev:
I cylinderkoordinater så kan vi skriva konen som r = zR/h, 0 < z < h. Se #29.

Eftersom hastigheten är horisontell i A så är den vertikala hastigheten, z-prick, noll.

Men eftersom det gäller att r-prick = z-prickR/h så är även r-prick noll.

Jag tror inte jag hänger med på den biten alls.

Vad är konstigt? Tycker det är ganska rättframt.

PATENTERAMERA skrev:
Vad är konstigt. Tycker det är ganska rättframt.

Nej jag förstår ingenting. Jag har gjort kryssprodukten men sen är jag bara lost. Du förklarar som om allt är självklart men jag förstår inte ens vad det är du förklarar. Vi har utfört en kryssprodukt som skulle leda till att vi jämföra våra svar därifrån med kryssprodukt för att beräkna H_A. Annars vet jag inte vad syftet med kryssprodukten var.

Var du med på att H_z (H_z/m) är konstant under hela rörelsen eftersom M_z är noll?

Är du med på att H_z/m = $r v_{φ}$ rent generellt?

PATENTERAMERA skrev:
Notera att likformiga trianglar ger att r/z = R/h.

Jag förstår inte hur denna figur representerar var partikeln befinner sig? Vi hade ju r=rer+zez. Varför kan vi inte utnyttja att r_OA=r/2er+h/2zez? Du försöker säga att att v_A är horisontell betyder att v_z är 0 och zprick=v_z och här är z=h/2 så zprick=0? Men bara för att zprick är 0 då är även rprick 0? Hur är det möjligt att den är 0 också?

Det tjocka strecket representerar konen. Om du skall befinna dig på konen så är inte r och z oberoende av varandra utan måste uppfylla r/z = R/H (likformiga trianglar) eller om man så vill r = zR/h.

PATENTERAMERA skrev:
Det tjocka strecket representerar konen. Om du skall befinna dig på konen så är inte r och z oberoende av varandra utan måste uppfylla r/z = R/H (likformiga trianglar) eller om man så vill r = zR/h.

Ok det är den biten jag inte förstår. Det känns inte logiskt. Jag ser inte hur partikeln befinner sig på två trianglar. Vi hade ju tidigare r_OA=rer+zez. Jag förstår inte varför den inte kan användas ?

Det är logiskt. Hur det känns är subjektivt.

Den lilla triangeln med sidor z och r är likformig med den stora triangeln med sidor h och R.

PATENTERAMERA skrev:
Den lilla triangeln med sidor z och r är likformig med den stora triangeln med sidor h och R.

Jag är nog inte med på varför vi ens skall gå konstruera två likformiga trianglar som om partikeln befinner sig på dessa två trianglar.

Här tänker vi oss att r och z är partikelns koordinater i cylinderkoordinater.

PATENTERAMERA skrev:
Här tänker vi oss att r och z är partikelns koordinater i cylinderkoordinater.

r=rer+zez eller hur?

Ja, det gäller generellt. Men om vi befinner oss på konen så är inte r och z oberoende. Om någon talar om vad r-värdet är så kan du direkt räkna ut z-värdet och tvärtom.

PATENTERAMERA skrev:
Ja, det gäller generellt. Men om vi befinner oss på konen så är inte r och z oberoende. Om någon talar om vad r-värdet är så kan du direkt räkna ut z-värdet och tvärtom.

Ok. Men jag förstår inte hur man ska sätta upp specifkt för konen och konstruera likformiga trianglar. Partikeln befinner sig på z=h/2 och r=R/2

Om tex r = R vad måste z vara då om man befinner sig på konen? Om r = 0 vad är z då om man befinner sig på konen?

PATENTERAMERA skrev:
Om tex r = R vad måste z vara då om man befinner sig på konen? Om r = 0 vad är z då om man befinner sig på konen?

Jag förstår inte frågan.

1)Men om vi går tillbaka till hur du överhuvudtaget kom på att partikeln befinner sig i två likformiga trianglar ,så tänker du att partikeln har r=R/2 och z=h/2 och den förhåller sig som r=R och z=H då den befinner sig i cirklar och när partikeln är r=R/2 i den lilla cirkeln då R halveras.

2)Vad är syftet att vi gör på det sättet? Jag förstår inte kopplingen mellan r som funktion av z och horisontella hastighet i A.

3) en annan sak som jag inte förstår är hur du beräknade rörelsemängdsmoment i B ,det gick fort där och jag hängde inte med. Vad är r_OB här ? Vilken v komponent av B ska man använda och varför?

Vid A så är $\vec{r} = \frac{R}{2} {\vec{e}}_{r} + \frac{h}{2} {\vec{e}}_{z}$ .

Vid B så är $\vec{r} = R {\vec{e}}_{r} + h {\vec{e}}_{z}$ .

PATENTERAMERA skrev:
Vid A så är $\vec{r} = \frac{R}{2} {\vec{e}}_{r} + \frac{h}{2} {\vec{e}}_{z}$ .

Vid B så är $\vec{r} = R {\vec{e}}_{r} + h {\vec{e}}_{z}$ .

Hur fick du ortsvektorn i B? Jag tycker vi gick en väldigt krånglig väg för att bestämma rörelsemängdsmoment i A när man hade skrivit om v0 på vektorform och kört kryssprodukten. Vi har ju (R/2e_r+h/2ez)×v0er=h/2v0ephi

I B är avståndet till z-axeln R, så r = R. Och z-koordinaten är uppenbarligen h.

PATENTERAMERA skrev:
I B är avståndet till z-axeln R, så r = R. Och z-koordinaten är uppenbarligen h.

Ska man inte räkna från origo dvs r_OB? Jag kan inte se framför mig hur du räknar från figuren.

Ja. r definieras från origo.

PATENTERAMERA skrev:
Ja. r definieras från origo.

Men hur får du det avståndet då och var är origo ?

destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Vid A så är $\vec{r} = \frac{R}{2} {\vec{e}}_{r} + \frac{h}{2} {\vec{e}}_{z}$ .

Vid B så är $\vec{r} = R {\vec{e}}_{r} + h {\vec{e}}_{z}$ .

Hur fick du ortsvektorn i B? Jag tycker vi gick en väldigt krånglig väg för att bestämma rörelsemängdsmoment i A när man hade skrivit om v0 på vektorform och kört kryssprodukten. Vi har ju (R/2e_r+h/2ez)×v0er=h/2v0ephi

Varför stämmer inte detta sättet för att ta fram rörelsemängdsmoment i A?

Du har fel på hastigheten. Den är $v_{0} {\vec{e}}_{φ}$ .

PATENTERAMERA skrev:
Du har fel på hastigheten. Den är $v_{0} {\vec{e}}_{φ}$ .

Men hur vet vi att v0e_phi från början? Vi vet bara att v0 är horisontell och v_z=0 och den har då bara en komponent i e_r riktning. Jag förstår inte kopplingen mellan r som funktion av z och horisontella hastighet i A. Jag kan ej bara acceptera att något är på det sättet utan tydlig förklaring, sorry om jag är som en geting justnu.

PATENTERAMERA skrev:
I B är avståndet till z-axeln R, så r = R. Och z-koordinaten är uppenbarligen h.

Hur får du detta?

Från problemtexten och tillhörande figur.

PATENTERAMERA skrev:
Från problemtexten och tillhörande figur.

Ok var i problemtexten står det något om vad v_B har för ortsvektor?

destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Du har fel på hastigheten. Den är $v_{0} {\vec{e}}_{φ}$ .

Men hur vet vi att v0e_phi från början? Vi vet bara att v0 är horisontell och v_z=0 och den har då bara en komponent i e_r riktning. Jag förstår inte kopplingen mellan r som funktion av z och horisontella hastighet i A. Jag kan ej bara acceptera att något är på det sättet utan tydlig förklaring, sorry om jag är som en geting justnu.

Det här har inte du svarat på. Jag undrar fortfarande och känner inte att jag har förstått detta tillräckligt.

PATENTERAMERA skrev:
Från problemtexten och tillhörande figur.

Är du säker på att ortsvektorn i B är som du skrev? Det verkar vara r_OB=-R/2e_r+(h+R/2)ez

Facit hoppar över en del steg gällande hur H_A=rv₀ samt varför H_B=Rcostheta.

1) jag antar ortsvektorn till punkten A där partikeln är r och de tittar inte ens på det här med att v0 är horisontell. Sen säger de geometri ger men de går inte vilken geometri de menar.

2) varför använder de ortsvektorn R och varför den horisontella komponenten av v_B?

destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Från problemtexten och tillhörande figur.

Är du säker på att ortsvektorn i B är som du skrev? Det verkar vara r_OB=-R/2e_r+(h+R/2)ez

Eftersom B befinner sig vid konens kant vars z-koordinat är h så är även partikels z-koordinat h.

PATENTERAMERA skrev:
destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Från problemtexten och tillhörande figur.

Är du säker på att ortsvektorn i B är som du skrev? Det verkar vara r_OB=-R/2e_r+(h+R/2)ez

Eftersom B befinner sig vid konens kant vars z-koordinat är h så är även partikels z-koordinat h.

Jag ser att B befinner sig vid konens kant men jag ser verkligen inte hur partikelns z-koordinat är h. Figuren är inte så tydlig. Facit säger att ortsvektor är R

Tillägg: 1 jun 2026 22:36

Eller vänta, jag ser att de mäter höjden vid konens kant eller rand så om partikeln befinner sig på vilken rand som helst som är höjden alltid detsamma. När det gäller hur det blir Rer så är det från O dvs mitten av cirkeln till där partikeln är.

destiny99 skrev:

Facit hoppar över en del steg gällande hur H_A=rv₀ samt varför H_B=Rcostheta.

1) jag antar ortsvektorn till punkten A där partikeln är r och de tittar inte ens på det här med att v0 är horisontell. Sen säger de geometri ger men de går inte vilken geometri de menar.

2) varför använder de ortsvektorn R och varför den horisontella komponenten av v_B?

De förutsätter att man vet det som jag visade, dvs att H_z/m = $r v_{φ}$ =konstant.

Sedan utgår man från att man inser följande:

Vid A. $v_{φ} = v_{0}$ och r = R/2. Vilket ger att H_z/m = $\frac{R v_{0}}{2}$ .

Vid B. $v_{φ} = v \cos θ$ och r = R. Vilket ger att $R v \cos θ = \frac{R v_{0}}{2} \Rightarrow \cos θ = \frac{v_{0}}{2 v}$ .

Sedan använder man att energin bevaras.

PATENTERAMERA skrev:
destiny99 skrev:

Facit hoppar över en del steg gällande hur H_A=rv₀ samt varför H_B=Rcostheta.

1) jag antar ortsvektorn till punkten A där partikeln är r och de tittar inte ens på det här med att v0 är horisontell. Sen säger de geometri ger men de går inte vilken geometri de menar.

2) varför använder de ortsvektorn R och varför den horisontella komponenten av v_B?

De förutsätter att man vet det som jag visade, dvs att H_z/m = $r v_{φ}$ =konstant.

Sedan utgår man från att man inser följande:

Vid A. $v_{φ} = v_{0}$ och r = R/2. Vilket ger att H_z/m = $\frac{R v_{0}}{2}$ .

Vid B. $v_{φ} = v \cos θ$ och r = R. Vilket ger att $R v \cos θ = \frac{R v_{0}}{2} \Rightarrow \cos θ = \frac{v_{0}}{2 v}$ .

Sedan använder man att energin bevaras.

Men du gör det lite komplicerad genom att fortfarande inte förklara hur det blir rv0 och Rvcostheta. Jag kan ej lista ut detta genom att se på härledningar.

Är du med på att om du rör dig på en yta så är din hastighet alltid vinkelrät mot ytans normal?

Vid A så är hastigheten horisontell. ${\vec{v}}_{A} = v_{r} {\vec{e}}_{r} + v_{φ} {\vec{e}}_{φ}$ . En normal till ytan vid A kan skrivas $\vec{n} = n_{r} {\vec{e}}_{r} + n_{z} {\vec{e}}_{z}$ . Dvs ingen phi komponent. De exakta värdena är inte intressanta. Om det nu skall gälla att ${\vec{v}}_{A} \cdot \vec{n} = 0$ så måste v_r = 0. Visa det.

PATENTERAMERA skrev:
Är du med på att om du rör dig på en yta så är din hastighet alltid vinkelrät mot ytans normal?

Vid A så är hastigheten horisontell. ${\vec{v}}_{A} = v_{r} {\vec{e}}_{r} + v_{φ} {\vec{e}}_{φ}$ . En normal till ytan vid A kan skrivas $\vec{n} = n_{r} {\vec{e}}_{r} + n_{z} {\vec{e}}_{z}$ . Dvs ingen phi komponent. De exakta värdena är inte intressanta. Om det nu skall gälla att ${\vec{v}}_{A} \cdot \vec{n} = 0$ så måste v_r = 0. Visa det.

1)Varför saknar normalen en phi komponent och varför inför vi att v_A ska vara vinkelrät mot normalen till konytan?

2)Gäller det här alltid för alla hastigheter att de är vinkelräta mot normalen till en yta? Vad jag kan se är normalkraften vinkelrät mot ytan och då även mot hastigheten. Den har ju er och ez komponenter men saknar en ephi komponent

1) Så är det helt enkelt för en kon. Jag antar att man kan säga att det är följd av att konen är rotationssymmetrisk kring z-axeln.

2) Ja, det gäller generellt. Det är väl nästan trivialt. Om man rör sig på en yta så är hastigheten en tangent till ytan och tangenter är vinkelräta mot normaler. Alltså är v_A ortogonal mot n. Det står dessutom i texten att v₀ är tangent till konytan.

GPT-bevis:

PATENTERAMERA skrev:
1) Så är det helt enkelt för en kon. Jag antar att man kan säga att det är följd av att konen är rotationssymmetrisk kring z-axeln.

2) Ja, det gäller generellt. Det är väl nästan trivialt. Om man rör sig på en yta så är hastigheten en tangent till ytan och tangenter är vinkelräta mot normaler. Alltså är v_A ortogonal mot n. Det står dessutom i texten att v₀ är tangent till konytan.

GPT-bevis:

1) nu vet jag inte vad rotationssymmetrisk betyder förutom att konen roterar kring z-axeln , men det betyder ändå att de ända komponenterna som spelar roll för normalen är alltså er och ez då rotationen sker i dessa riktningar eller?

2) jaha ok då förstår jag. När man tar skalärprodukten överlever inte heller vr då den är 0. Bara v_phi överlever. Så r_OA×v_A=R/2v_phi.

Du får gärna svara på inlägget innan. Jag har några frågor till innan jag kan känna mig nöjd med svaren här.

1) En annan sak som jag också undrar över är hur det kommer sig att vi använder v_Bcostheta för rörelsemängdsmomentet och ej v_Bsintheta?

2) hur kommer man på sambandet r/R =1/2 som facit säger är geometri? Jag vet inte om syftet var att hitta ett värde på förhållande mellan r och R från rörelsemängdsmoment bevarande för att kunna lösa ut vinkeln?

Varför är det bara vcostheta för rörelsemängdsmoment i B? Är det för att skalärprodukten mellan (vBcosthetaer,0,vBsinthetaez) och (0,0,Nzez) är 0? Om man kör kryssprodukt mellan v_B och r_OB så är det bara vcosthetaer som överlever

En sak i taget.

Vid A. Vi vet nu att ${\vec{v}}_{0} = v_{0} {\vec{e}}_{φ}$ . Det betyder att $\frac{H_{z}}{m} = \frac{R}{2} v_{0} = \frac{R v_{0}}{2}$ .

Är du med så långt?

PATENTERAMERA skrev:
En sak i taget.

Vid A. Vi vet nu att ${\vec{v}}_{0} = v_{0} {\vec{e}}_{φ}$ . Det betyder att $\frac{H_{z}}{m} = \frac{R}{2} v_{0} = \frac{R v_{0}}{2}$ .

Är du med så långt?

I kursboken är v_theta hastighetskomponenten i e_theta riktning. Alltså det du skriver kan man bara komma fram till från kryssprodukten och sen om man inser att endast v_theta överlever från inläggen tidigare. Det tog mig ett tag att fatta detta men jag förstår nu varför v_theta bör överleva från skalärprodukten och sen det här med att v_0ez dör pga v_0 är horisontell och sen kryssprodukten är redan utförd och då blir det som du säger R_v0/2. Jag skulle dock vilja att du svarar på 1) och 2) i #103.

Ja.

$\vec{H} / m = (\frac{R}{2} {\vec{e}}_{r} + \frac{h}{2} {\vec{e}}_{z}) \times (v_{0} {\vec{e}}_{φ}) \Rightarrow H_{z} / m = \frac{R v_{0}}{2}$ .

Eftersom H_z/m är en rörelsekonstant så måste vi ha att

$\frac{H_{z}}{m} (B) = \frac{R v_{0}}{2}$ .

Nästa steg är att hitta ett uttryck för $\frac{H_{z}}{m} (B)$ .

Är du med så långt?

PATENTERAMERA skrev:
Ja.

$\vec{H} / m = (\frac{R}{2} {\vec{e}}_{r} + \frac{h}{2} {\vec{e}}_{z}) \times (v_{0} {\vec{e}}_{φ}) \Rightarrow H_{z} / m = \frac{R v_{0}}{2}$ .

Eftersom H_z/m är en rörelsekonstant så måste vi ha att

$\frac{H_{z}}{m} (B) = \frac{R v_{0}}{2}$ .

Nästa steg är att hitta ett uttryck för $\frac{H_{z}}{m} (B)$ .

Är du med så långt?

Ja. Men vi behöver inte utföra kryssprodukt två gånger för H_A. Men jag förstår varför du gör det.

Vi hade tagit fram en allmän formel för H_z/m.

$\frac{H_{z}}{m} = r v_{φ}$ .

Vid B. r = R. I problemet kallar man hastigheten i B för $\vec{v}$ . Vi har då

$v_{φ} (B) = \vec{v} \cdot {\vec{e}}_{φ} (B) = v \cos (θ)$ .

Notera att $θ$ är just vinkeln mellan $\vec{v} o c h {\vec{e}}_{φ}$ vid B, därav kommer $\cos (θ)$ in i bilden.

Så vi får att

$R v \cos θ = \frac{R v_{0}}{2}$ . Från det kan vi lösa ut cos(theta).

Är du med så långt?

PATENTERAMERA skrev:
Vi hade tagit fram en allmän formel för H_z/m.

$\frac{H_{z}}{m} = r v_{φ}$ .

Vid B. r = R. I problemet kallar man hastigheten i B för $\vec{v}$ . Vi har då

$v_{φ} (B) = \vec{v} \cdot {\vec{e}}_{φ} (B) = v \cos (θ)$ .

Notera att $θ$ är just vinkeln mellan $\vec{v} o c h {\vec{e}}_{φ}$ vid B, därav kommer $\cos (θ)$ in i bilden.

Så vi får att

$R v \cos θ = \frac{R v_{0}}{2}$ . Från det kan vi lösa ut cos(theta).

Är du med så långt?

Ja jag är med men jag har listat ut hur det blir för rörelsemängdsmomentet i punkten B så jag är nöjd med hjälpen. Om man ej kommer på ditt sätt med B så kan man bara tänka att r_OB=(-Rer+hez)×(-v_Bcosthetae_r ) eftersom normalen till ytan är vinkelrät mot hastigheten där och vi har bara N_ze_z och skalärprodukten mellan den och (-v_Bcosthetae_r,0,v_bsinthetae_z) är ju 0 och vi ser då att bara -v_Bcosthetae_r är den enda komponenten som överlever. Jag vet inte om man kan tänka så men det är typ så jag tänkte.