Bestäm vinkeln (Matematik/Matte 4/Trigonometri)

Tänkte så här

Dela upp alfa i två vinklar.

Jag undrar bli den andra vinklen

$90 - α ?$

Arup skrev:
Jag undrar bli den andra vinklen

$90 - α ?$

Nej

Hur kan jag uttrycka den här vinklen ?

Antar att du syftar på "delvinkeln" till $\alpha$ i bilden. Den är en del av en rätvinklig triangel med två kända sidor. Med hjälp av det kan du få ett uttryck för vinkeln!

så det inte alpha/ 2 ?

Nej. Det skulle den endast vara om linjen var en bisektris, vilket den (nödvändigtvis) inte är.

Kan jag kalla det för u ?

Ja.

Då blir väl vinkeln runt hörnet i D 90-u ?

Vad är D?

Jag hade gjort beckningar på mitt papper för triangeln. Men, det är vad

jag syftade

Ja, det stämmer.

Och vinkeln mellan 12, 13 le kan vi betckna som

$90 - α$

Nej. Glöm inte att $\alpha$ är hela vinkeln i båda trianglar. Endast delen som inte tillhör den nedre triangeln uppfyller det du försöker säga just nu.

Jag har hitulls kommit fram till det här

Ja, det stämmer (algebran). Den delen av $\alpha$ som tillhör den större triangeln kan du skriva, med dina beteckningar, som $\alpha-u$ . Försök hitta några linkande samband för denna vinkel på samma sätt som du fick fram $\sin u$ .

Fast beteckningen i din figur stämmer INTE överens med uppgiftens beteckning.

I din figur kallar du vinkeln CAD för alfa.

I uppgiftens figur kallas vinkeln CAB för alfa.

Jag har lite svårt för att sätta beteckningar på korrekt sätt.

Hur ska det egentligen vara ?

Som AlexMu skrivit i #19, så är vinkeln CAD lika med $\alpha - u$ .

Den gulmarkerade vinkeln är $\alpha$ .

Den blåmarkerade vinkeln är $u$ .

Den grönmarkerade vinkeln är $\alpha-u$

Aha, det var ett litet misstag

Nu har jag kommit till det här

Jag vet inte hur jag löser ut $\sin (α)$

Du har allt du behöver nu. Ett litet knep är att du kan skriva

$\sin \alpha = \sin ((\alpha - u) + u)$

och använda additionsformeln där vinklarna är $\alpha - u$ och $u$ . Det kommer utvecklas till sinus och cosinusvärden som du känner till/lätt kan räkna ut.

Jag försår inte är det samma sak som sin alpha ?

Självklart, men nu kan du använda additionsformler och få fram sinus och cosinusvärden som du känner till.

Nu har jag kommit fram till det här

Ja, du kan absolut lösa problemet på det sättet. Det är ett linjärt ekvationssystem för $\cos \alpha$ och $\sin \alpha$ .

Jag lite förvirrad kring hur jag kan eliminera $\cos (α)$

Jag har försökt göra det mha additionsmetoden.

Addera exempelvis $3/4$ (2) till (1).

Blir t ex så här

$- 3 \cos (α) + 4 \cos (α) ?$

Vad menar du?

Jag har lite svårt begripa.

Det känns lite rörigt med både cos och sin.

Du behöver inte tänka dem som cos och sin, det är ett linjärt ekvationssystem för två okända tal. Du kan bara skriva det som

$\left\{\begin{array}{l}4a-3b=60/13\\4b+3a=25/13\end{array}\right.$

Okej, sen måste jag väl omvandla mina a och b till både sin & cos alpha ?

Självklart, men det är lätt eftersom $a = \sin \alpha$

Vad är då b ?

$\cos\alpha$ . Jag bytte bara ut sinus och cosinus mot $a$ och $b$ eftersom du sade att det kändes rörigt med de trigonometriska funktionerna. Genom att "gömma" lite information (byta ut till enklare variabler) omvandlas allt mer explicit till ett vanligt linjärt ekvationssystem från ma2.

Ok

Kan du nu använda additionsmetoden för att lösa det linjära ekvationssystemet i #36?

Ja, måste bara tänka på lämpliga faktorer som underlättar eliminationen.

Du kan börja med att dela in vinkeln alpha i a₁ (den mindre triangeln) och a₂(den större). De frågar om sin(alpha), vilket är precis samma sak som sin(a₁ + a₂).

Vet du vad additionsformeln för sin(u+v) är? Om du vet det så är det bara att hitta linjen som gränsar båda trianglarna och ta reda på alla trigonometriska värden du behöver för att använda dig av formeln.

sin(u+v) har jag redan använt från formelbladet.

Har du hittat alla sin och cos värden du behöver för additionsformeln för sin? Det vill säga sin(a₁), cos(a₁), sin(a₂) och cos(a₂)?

Arup skrev:
sin(u+v) har jag redan använt från formelbladet.

Det finns två olika sätt att använda additionsformeln i denna uppgift. Den ena är det du gjort som leder fram till ett linjärt ekvationssystem. Det andra är det jag nämnde i #26 och Abc39412 nämnde i #44. Det senare kommer bli lite enklare då man inte får ett ekvationssystem på halsen.

Vilken vinkel är det som är u ?

Du definierade själv vinkeln $u$ som del-vinkeln av $\alpha$ som tillhör den mindre triangeln.

Jag mena v

I vilket sammanhang finns det ett $v$ ? När du pratar om $\sin(u+v)$ ?

ja

Tja.. Vad vill du använda additionsformeln till? Det är ju det som bestämmer vad $v$ är för något.

Ja, det vill jag men först ska jag pröva lösa ekvationssystemet som vi

var inne på igår

Gör det! Det är bra att lösa på sättet man kommer fram till själv.

Ett litet inpass med förslag till systematisk problembehandling.

Vad är givet? Två rätvinkliga trianglar => bestämma den streckade linjen

Vad är efterfrågat? Sinus för en vinkel som är summan av två vinklar i rätvinkliga trianglar

=> Använda formeln för sinus för summan av två vinklar, där man behöver sinus och cosinus för de två vinklarna.

=> Bestämma sinus och cosinus för de två vinklarna med hjälp av kunskapen att de ingår i kända

rätvinkliga trianglar.

Ett inpass av annat slag eller kanske vi ska säga en parentes.
Eftersom uppgiften väl ska lösas med trigonometriska formler.
Men den löses också enkelt utan.

Är sin alpha då $\frac{63}{5} ?$

Sinus för en vinkel kan inte vara > 1.

sin alfa = sin (180^o - alfa) = (63/5)/13 = 63/65.

Jag undrar hur fick sidorna på kvdraten eller rektangeln till

$\frac{4}{5} \times 12 \frac{63}{5} ?$

Du har två likformiga trianglar av 3-4-5-typ.
Där är lång katet 4/5 av hypotenusan.
Så i den större triangeln med hypotenusan 12 cm är lång katet det som är inskrivet i figuren = 48/5 cm.

Du kan förstås ställa upp en likformighetsekvation och få samma sak.

Rektangelns höjd är då (48/5) + 3 cm = 63/5 cm.

Provade lösa ekvationssystemet.

Vet ej om jag ör på rätt väg

Idén är rätt. Multiplikationen blir fel här

AlexMu skrev:
Idén är rätt. Multiplikationen blir fel här

Gar jag gjort rätt ?

Ja. Det kommer ge facits svar om du förenklar.

Notera dock att det hansa säger i #64, eller det som sagts #26 och #44 kommer ge svaret utan att behöva lösa ett ekvationssytem. Testa detta sätt också!

Ja, jag fick rätt svar!

Är det här ddn alternstiva lösningen som förespråkades ?

Det ser ut som rätt idé, men att sinus av något är större än 1 kan inte vara rätt.

Arup skrev:
Är det här ddn alternstiva lösningen som förespråkades ?

Det är rätt förutom att $13\cdot 5 \neq 45$ . Som Laguna säger, en rimlighetskoll på om man har rätt, sinus kan inte ge ut något större än $1$ .

det var slarvfel. Det ska naturligtvis vara $\frac{63}{65}$

Då är det rätt och ja, det var den föreslagna alternativa lösningen.