Bestämma punkt i triangel med vektorprodukt

Punkten (a,b,c) ligger lika långt ifrån (1,1,1) som (1,2,0) och koordinaterna uppfyller 

a + b + c = 3

Kryssprodukten (0, 1, -1) x (1, 1, 1) kanske kan vara något.

Brute Force

Du får två vektorer som beskriver sökt punkt $Q$ relativt punkterna $P=(1, 1, 1)$ och $R=(1, 2, 0)$:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{PQ}=(a-1, b-1, c-1) \\ \overrightarrow{RQ}=(a-1, b-2, c) \end{gathered}$$

Vi vet längden på vektorerna genom att vi vet att:

$\left|\overrightarrow{PR}\right|=\sqrt{{\left(1-1\right)}^2+{\left(2-1\right)}^2+{\left(0-1\right)}^2}=\sqrt{2}$

Därmed får vi att:

$$\begin{gathered} 2={\left(a-1\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2+{\left(c-1\right)}^2 \\ 2={\left(a-1\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2+c^2 \end{gathered}$$

Detta ger:

$$\begin{gathered} 0={\left(b-1\right)}^2-{\left(b-2\right)}^2+{\left(c-1\right)}^2-c^2 \\ 0=b^2-2b+1-b^2+4b-4+c^2-2c+1-c^2 \\ 1=b-c \end{gathered}$$

Eftersom vi har $a+b+c=3$ får vi att:

$$\begin{gathered} a=4-2b \\ a=2-2c \end{gathered}$$

Nu kan du lösa för "möjliga lägen" hos det tredje hörnet.

Elegant

Riktningsvektorn som pekar till möjliga lägen är:

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{PR}\times \overrightarrow{n}=(0, 1, -1)\times (1, 1, 1)=(2, -1, -1)$

Längden på en vektor som pekar till möjliga lägen är:

$\left|t\overrightarrow{v}\right|=\left|t\right|\sqrt{6}$

Där $t\in \mathrm{ℝ}$. Vi får därför genom faktumet att det är en liksidig triangel att:

$$\begin{gathered} \left|t\right|\sqrt{6}=\sqrt{2}\sin \left(\frac{\pi }{3}\right) \\ \left|t\right|=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Således får vi våra möjliga lägen som:

$$\begin{gathered} \boxed{ A=(1, \frac{3}{2}, \frac{1}{2})+\frac{1}{2}(2, -1, -1)=(2, 1, 0) \\ B=(1, \frac{3}{2}, \frac{1}{2})-\frac{1}{2}(2, -1, -1)=(0, 2, 1)} \end{gathered}$$

Om du inte hängde med på ovan så har du här en bild som illustrerar lite: