Bevisa

När man ska visa att trigonometriska funkitioner blir lika med $1$ vill man ofta använda trig-ettan. Därför bör du försöka få $\sin^2-$ och $\cos^2-$termer. Den enda termen i ditt uttryck som inte är på denna form är $\cos 4x$. Testa att utvekla denna med dubbla vinkeln och se om du kan få fram $\sin^2$ och $\cos^2$ termer.

Japp! Så skulle jag göra. Kika i din formelsamling så hittar du säkert något användbart. Spontant känns Ettan och Dubbla vinkeln som bra ansatser. 

Vilket specifik del av Ma4 det är vet jag inte, förutom att det förstås är trig. 

Läraren skrev detta i en annan bild.

så jag tror att detta är uppgiften.

Biorr skrev:

Läraren skrev detta i en annan bild.

så jag tror att detta är uppgiften.

Ja, du skrev "+" men det skall vara "*" som här.

men utifrån formelsamlingen så har jag svårt att det hur man kan skriva om cos(4x)

likaså utgör 8 ett hinder  vid sin2v=2sinvcosv

Biorr skrev:

men utifrån formelsamlingen så har jag svårt att det hur man kan skriva om cos(4x)

likaså utgör 8 ett hinder  vid sin2v=2sinvcosv

Börja med att skriva om 

cos(2y)

enligt dubbla vinkeln. Ersätt sedan y med 2x.

Biorr skrev:

Läraren skrev detta i en annan bild.

så jag tror att detta är uppgiften.

Ja, det verkar ju rimligare. I det du först postade blir VL=2 för x=0, så det ser man ju lätt att det inte stämmer. 

jag förstår inte riktigt varför 

stämmer mitt resonemang för att substituera den ena inrutade termen?

men hur ska jag tänker med cos(4x)?

Biorr skrev:

stämmer mitt resonemang för att substituera den ena inrutade termen?

men hur ska jag tänker med cos(4x)?

Ser bra ut

Nu behöver du studera formeln för dubbla vinkeln, cos(2u). Hur ser den ut?

Min andra tanke var att göra samma sak även där med att förlänga VL och HL, och sedan substituera.

Och ha i åtanke att summan av båda termens ska bli 1

Därav blev det cos(2x)=1-2sin²x

men här blev det lite annorlunda 

hur påverkar man inre funktionen 2x

Biorr skrev:

Min andra tanke var att göra samma sak även där med att förlänga VL och HL, och sedan substituera.

Och ha i åtanke att summan av båda termens ska bli 1

Därav blev det cos(2x)=1-2sin²x

 

men här blev det lite annorlunda 

hur påverkar man inre funktionen 2x

Att cos(2x)=1-2sin²x stämmer bra.

Som Trinity2 säger: Skriv om det uttryck du kommit fram till, men använd u istället och låt u=2x.

Hur ser det ut då?

Använd sedan formeln för dubbla vinkeln.

Med de vanliga uttrycken för cos(a+b) och sin (a+b) blir det

cos 4x +                   8 sin²x cos²x=

cos (2x+2x) +        2((2sinxcosx)(2sinxcosx))=

cos²2x -sin² 2x +    2 sin²2x =

cos² 2x +sin²2x =1

såhär?

Varför kan man göra så?

substitution?

Precis så!

När du inför u=2x bestämmer du bara ett nytt namn för uttrycket 2x. Så länge du konsekvent substituerar (byter ut) alla 2x mot u (och vice versa på slutet) förändrar du inte det matematiska sambandet.

Formeln för dubbla vinkeln för cosinus är en generell identitet som gäller för alla vinklar:

$\cos \left(2\theta \right)=1-2{\sin }^2\left(\theta \right)$

Eftersom den gäller för vilken vinkel θ som helst, spelar det ingen roll om vinkeln är ett enkelt tal, en variabel u eller ett uttryck som 2x.

Var det en rimlig förklaring?