Bevisa att union och snitt av två mängder är öppna/slutna

Kanske kan det göras enklare, här är ett försök:

a) (Unionfallet)
Vi förutsätter att A och B är öppna, dvs ingen av deras respektive randpunkter tillhör respektive mängd.

Låt P vara randpunkt till (A union B). Vi ska visa att P inte tillhör (A union B).

Antag motsatsen, att P tillhör (A union B). I så fall gäller att P tillhör minst en av mängderna A och B, säg att P tillhör A (samma resonemang om P tillhör B).

Men P kan inte vara randpunkt till A som är öppen. Alltså är P en inre punkt i A. Men en inre punkt i A kan inte vara randpunkt till (A union B). Alltså är antagandet falskt, dvs P tillhör inte (A union B).

Av detta följer påståendet.

Påst a är en trivial följd av axiomen för en topologi. (Godtycklig union och ändliga snitt av öppna är öppen),

För påst b: En  mängd är sluten <==> komplementet är en öppen mängd. Således har vi A och B är slutna

==> komplementen A^c och B^c  öppna ==> A^c ∪ B^c =(A ∩ B)^c öppen (enl. a) ==> A ∪ B  sluten. På samma sätt att   

 A^c ∩ B^c = (A ∪ B)^c öppen (enl. a)  ==>A ∪ B sluten. VSB

Tomten skrev:

Påst a är en trivial följd av axiomen för en topologi. (Godtycklig union och ändliga snitt av öppna är öppen),

 

Tomten, axiom behöver förstås inte visas, men jag gissar att denna uppgift givits i en kurs som inte byggt upp topologin utifrån samma axiomsystem. 

Jag delar din gissning helt, det kan t o m vara så att frågeställaren Ciilon har ställts utan relevanta verktyg för att lösa uppgiften. Ja, det finns andra vägar fram till begreppen, t ex att gå via omgivningsbaser, men då är det brukligt att visa att de är kompatibla med de axiom jag hänvisar till. I mitt utkast till svar… (får avbrytande fortsätter senare)

Klart därav, att man i litteraturen inte önskar sig något relativiserande av begreppet topologi. I mitt utkast till svar hade jag ursprungligen med några rader om alternativa vägar, men strök det för att:

Den här tråden illustrerar betydelsen av våra regler, att frågeställaren visar vilka försök och tankar man har kring uppgiften. Då skulle vi åtminstone kunna ana vilka förutsättningar som fanns. Vi kunde också ha frågat efter detta innan vi försökte lösa uppgiften. 

Tack för era svar, har nu knåpat ihop ett svar. Vi har lite gått igenom topologiska begrepp så som just inre och yttrepunkter samt randpunkter så det var bekant att komplementet till A och B är öppna men förstod inte att jag egentligen kunde ta det rätt av det och konstatera att ifall komplementet är öppet betyder det att A union B är slutet.