Differentialekvationer

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Smaragdalena skrev:

Standardfråga 1a: Har du ritat?

 Nej... har inte läst matte 5 på ett år så kommer inte ihåg hur man ska rita upp olika funktioner och har inte heller någon lärare att fråga, så tips är väldigt uppskattat 

Funktionen $y(t)=\cos(t)$  Kommer du ihåg hur dina siffror 1,2 respektive 5t påverkar kurvan?

Kommer du ihåg hur hastigheten $v(t)$ respektive läget $s(t)$ hänger ihop med accelerationen $a(t)$?

Smaragdalena skrev:

Funktionen $y(t)=\cos(t)$  Kommer du ihåg hur dina siffror 1,2 respektive 5t påverkar kurvan?

Kommer du ihåg hur hastigheten $v(t)$ respektive läget $s(t)$ hänger ihop med accelerationen $a(t)$?

 Kan vara helt ute och cykla, men tänker att 1,2 är funktionens förskjutning i x-led och 5t påverkar hur stora svängningarna är.

v(t) är en primitiv funktion till a(t), och s(t) är en primitiv funktion till v(t)

Man kan väl typ säga att s=y, v=y' och a=y"?

Kan vara helt ute och cykla, men tänker att 1,2 är funktionens förskjutning i x-led och 5t påverkar hur stora svängningarna är.

Nja, du rör ihop det. Faktorn 1,2 gör att accelerationen svänger fram och tillbaka mellan värdena 1,2 och -1,2 (funktionen $y(t)=\cos(t)$ svänger mellan 1 och -1. Funktionen $y(t)=\cos(t)$ svänger mellan 1 och -1en gång när t ändras från 0 till $2\pi$, funktionen $y(t)=\cos(5t)$ svänger mellan 1 och -1 fem gånger när t ändras från 0 till $2\pi$.

v(t) är en primitiv funktion till a(t), och s(t) är en primitiv funktion till v(t)

Man kan väl typ säga att s=y, v=y' och a=y"?

Det här är alldeles korrekt.

yes, då tror jag att jag hänger med på den delen iallafall.. 

Hej!

Om accelerationen är $a(t) = 1.2\cos 5t$ så är hastigheten lika med

    $v(t) = v(0)+\int_{0}^{t}a(\tau)\,d\tau = v(0) + \int_0^t 1.2\cos 5\tau\,d\tau = v(0) + \frac{1.2}{5}[\sin 5\tau]_{0}^{t} = v(0)+\frac{1.2}{5}\sin 5t$

eftersom $\sin(5\cdot 0) = 0.$

Med starthastigheten $v(0) = 0$ blir hastighetsfunktionen

    $v(t) = \frac{1.2}{5}\sin 5t = 0.24\sin 5t\ , \quad t\geq 0$

och den största hastigheten är $0.24$ meter per sekund, precis som du skriver.

Avståndsfunktionen är

    $s(t) = s(0) + \int_0^t v(\tau)\,d\tau = s(0)+\int_0^t0.24 \sin 5\tau\,d\tau = s(0) - \frac{0.24}{5}[\cos 5t]_{0}^{t} = s(0)-\frac{0.24}{5}\cos 5t + \frac{0.24}{5}$

eftersom $\cos(5\cdot 0) = 1.$ Med startavståndet $s(0) = -0.048$ meter blir avståndsfunktionen

    $s(t) = -0.048 + 0.048 - 0.048\cos 5t = -0.048\cos 5t.$