Direkt produkt
Hej
jag har en uppgift där jag inte förstår hur man ska få fram det rätta svaret.
Finn m och n så att
Det man kan konstatera är ju att både m och n måste vara en delare till 32 men det ger ju flera olika svar så hur ska man veta om det blir m=2 n=16 eller m=4 och n=8?
Jag skulle säga att båda är korrekta svar. I uppgiften frågas bara efter några m och n sådana att isomorfin gäller, och både m = 2, n = 16 och m = 4, n = 8 uppfyller ju det.
Här ska nog vara den multiplikativa gruppen (mod 32), dvs den består av talen x som har gcd(x,32) = 1, dvs de udda talen 1, 3, 5, ..., 31. Gruppoperationen är multiplikation. Det går snabbt att se att 31 har ordning 2 (det är ju -1), men även 15 och 17 har det. Kolla på 3 (dvs räkna ut 3^k mod 32), hur många gånger går det tills du är tillbaks på 1? Det ger ordningen för 3. Det innebär att de talen genererar en delgrupp av den ordningen. Det ger dig n, och m blir då 2. På högersidan är det grupper med addition som gruppoperation och modulo m resp n.
om man tar får jag eftersom 3^7=1 mod 32
men hur får vi att 31 har ordning 2, ska vi göra samma sak med 31 som med 3 och ta då får jag och därmed ordningen 2
men det jag inte förstår är att vi har då att gcd(x,32)=1 de udda talen mellan 1 och 31 så kan man bara ta vilka två tal som helst eller varför just i detta fall då talen 31 och 3 och sedan räkna ut ordningen för de talen?
Du har missat 19 mellan 17 och 25, så O(3)=8 (det kan bara vara 2, 4, 8 el 16 eftersom det måste dela antal element i gruppen som är 16).
Ja, för 31 får du enklast (31)^2=(-1)^2=1.
De tal x som är inverterbara mod 32 är de som har gcd(x,32)=1. Det är de udda talen. Eftersom 15, 17 och 31 har ordning 2 så är Z_2 x Z_2 en delgrupp. När du sen hittat att O(3)=8 så vet du att Z_8 är en delgrupp och enda möjligheten är då att gruppen är isomorf med Z_2 x Z_8.
Du hade kunnat tagit annat tal än 3, totalt finns 8 st med ordning 8 (en av de är 3) och 4 med ordning 4 och 3 med ordning 2 och slutligen det neutrala elementet. Hade du tagit ett med ordning 4 vet du bara att Z_2 x Z_4 är en delgrupp och hela gruppen kan vara Z_2 x Z_8 eller Z_2 x Z_2 x Z_4. Alltså måste du kolla ytterligare element i det fallet för att avgöra vilket det är.
