10 svar
54 visningar
Tomte123 är nöjd med hjälpen!
Tomte123 128
Postad: 26 maj 2019

Dubbelintegral

Hej! 

Jag håller på och räknar på en dubbelintegral men jag får inte rätt på det... Här är uppgiften:

Jag har räknat så här: 0π2y + 3 dx +0sinx2 - sinx dy == 2xy + 3x0π+2y - sinx y0sinx ==2π y + 3π + 2 sinx - sin2x 

 

Men svaret ska bli 4 + 3pi, hur kommer man fram till det? 

Dr. G 4821
Postad: 26 maj 2019

Använder du alls kurvans utseende här?

Läs om parametrisering av linjeintegraler.

Tomte123 128
Postad: 26 maj 2019

Ja, hmm det är ju de värdena jag har försökt sätta in som gränser till integralerna... eller är de fel?

Jag ska läsa på :-)

AlvinB 3384
Postad: 26 maj 2019 Redigerad: 26 maj 2019

Det här är inte en dubbelintegral, utan en kurvintegral, en integral längs en kurva i 2\mathbb{R}^2.

Av din beräkning att döma tycks du behöva repetera vad en kurvintegral är och hur man beräknar den.

Det är nämligen så att

γ2y+3 dx+2-sinx dy\displaystyle\int_\gamma \left(2y+3\right)\ dx+\left(2-\sin\left(x\right)\right)\ dy

betyder att du skall beräkna integralen längs kurvan γ\gamma genom vektorfältet F(x,y)=(2y+3,2-sin(x))\mathbf{F}(x,y)=(2y+3,2-\sin(x)). Detta kan du göra på flera olika sätt. Ett alternativ är att använda sig av en parametrisering r(t)\mathbf{r}(t) och formeln:

γF·dr=abFrt·r't dt\displaystyle\int_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\left(t\right)\right)\cdot\mathbf{r}'\left(t\right)\ dt

eller så kan du lägga till ett linjestycke så att kurvan blir sluten och då använda Greens formel för att omvandla den till en dubbelintegral:

DF·dr=DFyx-Fxy dxdy\displaystyle\int_{\partial D}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_D\frac{\partial\mathbf{F}_y}{\partial x}-\frac{\partial\mathbf{F}_x}{\partial y}\ dxdy

Eftersom y är en funktion av x kan du skriva om integralen så att du bara behöver en variabel, x. Vad blir dy?

Tomte123 128
Postad: 27 maj 2019

Nu förstår jag mer hur det här fungerar! Jag har lyckats lösa b) uppgiften (som inte finns med här) men kan fortfarande inte lösa den här...

Det går att se att dQdx - dPdy =0

Från detta kan man konstatera att kurvintegralen är oberoende av integrationsvägen, det enda som påverkar är kurvans start och slutpunkt. Vi kan alltså tex gå vägen längs x-axeln från 0 till pi.

inför parametriseringen x=ty=0 där  0<= t <= pi

men jag löser ut den integralen tycker jag att jag bara får 3pi kvar... (0pi3 dt = osv...)

Ska jag använda en annan metod för att lösa den här uppgiften? Potential till exempel, jag vet inte riktigt hur man använder det? 

AlvinB 3384
Postad: 27 maj 2019

Detta fält är inte potentialfält (Q/x-P/y0\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y\neq0), så det går varken att byta kurva eller beräkna med hjälp av potentialfunktion.

Det går visserligen att använda Greens formel, men det tycker jag krånglar till saker och ting. Jag skulle köra på parametriseringsdefinitionen av en kurvintegral.

Tomte123 128
Postad: 27 maj 2019

Men vad har jag gjort fel? Hur gör man för att få 4 + 3pi? 

Tomte123 128
Postad: 27 maj 2019

Kan man verkligen använda Green när dQ/dx - dP/dy = 0?

AlvinB 3384
Postad: 27 maj 2019 Redigerad: 27 maj 2019

Ja, Greens formel går att använda även om fältet är ett potentialfält, men det här fältet är inte ett potentialfält. Det gäller alltså inte att Q/x-P/y=0\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y=0.

Jag skulle försöka parametrisera kurvan γ\gamma med en parametrisering r(t)\mathbf{r}(t) och därefter använda formeln:

γF·dr=abFrt·r't dt\displaystyle\int_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\left(t\right)\right)\cdot\mathbf{r}'\left(t\right)\ dt

där aa och bb är tt-värdena som motsvarar kurvans ändpunkter.

Tomte123 128
Postad: 28 maj 2019

Nu har jag löst den! :-)

Det var bara att använda helt vanlig parametrisering, fast med x=ty =sin t0tπ

Svara Avbryt
Close