8 svar
56 visningar
Axiom behöver inte mer hjälp
Axiom 952
Postad: 23 sep 18:52 Redigerad: 23 sep 19:02

Enhetsvektor med lika vinklar

Uppgift:

Find a unit vector that makes equal angles with the three coordinate axes.

Visa spoiler

 

Jag förstår inte hur man ska göra och särskilt inte vilken allmän ekvation man ska använda.

Edit: Jag tror det är skalärprodukt man ska använda

u*v=uvcosθ, för enhets vektorer är ju deras längd 1, kanske man ska utnyttja det?

AlexMu 253
Postad: 23 sep 19:06

Testa att använda
cosα=u·v|u||v|\cos{\alpha} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} där α\alpha är vinkeln mellan u\vec{u} och v\vec{v}

Axiom 952
Postad: 23 sep 19:07 Redigerad: 23 sep 19:09
AlexMu skrev:

Testa att använda
cosα=u·v|u||v|\cos{\alpha} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} där α\alpha är vinkeln mellan u\vec{u} och v\vec{v}

Men hur gör man det för 3 st av samma vinkel?

Vi har ju 3 st vinklar som är samma sak men skalärprodukt gäller för endast 2 st vektorer, nu har vi 3

Axiom 952
Postad: 23 sep 19:12 Redigerad: 23 sep 19:13
AlexMu skrev:

Testa att använda
cosα=u·v|u||v|\cos{\alpha} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} där α\alpha är vinkeln mellan u\vec{u} och v\vec{v}

Den ekvationen för skalärprodukt skrev jag i mitt inlägg ;)

AlexMu 253
Postad: 23 sep 19:13
Axiom skrev:
AlexMu skrev:

Testa att använda
cosα=u·v|u||v|\cos{\alpha} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} där α\alpha är vinkeln mellan u\vec{u} och v\vec{v}

Men hur gör man det för 3 st av samma vinkel?

Såhär tänker jag: Om vi kallar vektorn vi vill hitta för X\vec{X} så vet vi ju att vinkeln mellan X\vec{X} och alla tre koordinataxlar ska vara lika. Vi kan förkorta koordinataxlarna till enhetsvektorerna (1,0,0), (0,1,0) och (0,0,1). Då måste vinkeln mellan X\vec{X} och alla tre enhetsvektorer vara samma. Du kan testa att jämföra skalärprodukten mellan X\vec{X} och respektive enhetsvektor

Axiom 952
Postad: 23 sep 19:18 Redigerad: 23 sep 19:19
AlexMu skrev:
Axiom skrev:
AlexMu skrev:

Testa att använda
cosα=u·v|u||v|\cos{\alpha} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} där α\alpha är vinkeln mellan u\vec{u} och v\vec{v}

Men hur gör man det för 3 st av samma vinkel?

Såhär tänker jag: Om vi kallar vektorn vi vill hitta för X\vec{X} så vet vi ju att vinkeln mellan X\vec{X} och alla tre koordinataxlar ska vara lika. Vi kan förkorta koordinataxlarna till enhetsvektorerna (1,0,0), (0,1,0) och (0,0,1). Då måste vinkeln mellan X\vec{X} och alla tre enhetsvektorer vara samma. Du kan testa att jämföra skalärprodukten mellan X\vec{X} och respektive enhetsvektor

Man kan säkert göra så men från facit känns det som att man ska köra cosa+cosb+cosc på något sätt, men hur? Och särskilt hur får man cos2a

AlexMu 253
Postad: 23 sep 19:26 Redigerad: 23 sep 19:33
Axiom skrev:
AlexMu skrev:
Axiom skrev:
AlexMu skrev:

Testa att använda
cosα=u·v|u||v|\cos{\alpha} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} där α\alpha är vinkeln mellan u\vec{u} och v\vec{v}

Men hur gör man det för 3 st av samma vinkel?

Såhär tänker jag: Om vi kallar vektorn vi vill hitta för X\vec{X} så vet vi ju att vinkeln mellan X\vec{X} och alla tre koordinataxlar ska vara lika. Vi kan förkorta koordinataxlarna till enhetsvektorerna (1,0,0), (0,1,0) och (0,0,1). Då måste vinkeln mellan X\vec{X} och alla tre enhetsvektorer vara samma. Du kan testa att jämföra skalärprodukten mellan X\vec{X} och respektive enhetsvektor

Man kan säkert göra så men från facit känns det som att man ska köra cosa+cosb+cosc på något sätt, men hur?

Facit förvirrade mig också lite grann, ser inte riktigt vart cosinus i kvadrat kom ifrån. De verkade hoppa över en massa steg. 

Såhär tänker jag att man löser problemet

Visa spoiler

Låt X=(x,y,z)\vec{X} = (x,y,z) enhetsvektorn vi ska hitta. 
Dessutom i^=(1,0,0)\hat{i} = (1,0,0), j^=(0,1,0)\hat{j} = (0,1,0), k^=(0,0,1)\hat{k} = (0,0,1)
Vinkeln mellan X\vec{X} och enhetsvektorerna är densamma.
cosα=X*i^|X||i^|=x·1+y·0+z·01=x\cos{\alpha} = \frac{\vec{X} *\hat{i}}{|\vec{X}| |\hat{i}|} = \frac{x\cdot 1 + y \cdot 0 + z \cdot 0}{1} = x
Genom liknande process för skalärprodukten mellan x\vec{x} och j^\hat{j} och för k^\hat{k} får man: cosα=x=y=z\cos{\alpha} = x = y =z. Därför är X=(x,x,x)\vec{X} = (x,x,x). Det enda som återstår är att denna vektor är en enhetsvektor. Detta innebär att 3x2=1\sqrt{3x^2} = 1 Vilket ger lösningen x=13x = \frac{1}{\sqrt3} (den negativa roten är också en helt giltig lösning till problemet). Edit: notera att eftersom x=cosαx = \cos{\alpha} blir det här exakt samma ekvation som den tidigare lösningen 

X=(13,13,13)\vec{X} = (\frac{1}{\sqrt3},\frac{1}{\sqrt3},\frac{1}{\sqrt3})

Axiom 952
Postad: 23 sep 19:41
AlexMu skrev:
Axiom skrev:
AlexMu skrev:
Axiom skrev:
AlexMu skrev:

Testa att använda
cosα=u·v|u||v|\cos{\alpha} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} där α\alpha är vinkeln mellan u\vec{u} och v\vec{v}

Men hur gör man det för 3 st av samma vinkel?

Såhär tänker jag: Om vi kallar vektorn vi vill hitta för X\vec{X} så vet vi ju att vinkeln mellan X\vec{X} och alla tre koordinataxlar ska vara lika. Vi kan förkorta koordinataxlarna till enhetsvektorerna (1,0,0), (0,1,0) och (0,0,1). Då måste vinkeln mellan X\vec{X} och alla tre enhetsvektorer vara samma. Du kan testa att jämföra skalärprodukten mellan X\vec{X} och respektive enhetsvektor

Man kan säkert göra så men från facit känns det som att man ska köra cosa+cosb+cosc på något sätt, men hur?

Facit förvirrade mig också lite grann, ser inte riktigt vart cosinus i kvadrat kom ifrån. De verkade hoppa över en massa steg. 

Såhär tänker jag att man löser problemet

Visa spoiler

Låt X=(x,y,z)\vec{X} = (x,y,z) enhetsvektorn vi ska hitta. 
Dessutom i^=(1,0,0)\hat{i} = (1,0,0), j^=(0,1,0)\hat{j} = (0,1,0), k^=(0,0,1)\hat{k} = (0,0,1)
Vinkeln mellan X\vec{X} och enhetsvektorerna är densamma.
cosα=X*i^|X||i^|=x·1+y·0+z·01=x\cos{\alpha} = \frac{\vec{X} *\hat{i}}{|\vec{X}| |\hat{i}|} = \frac{x\cdot 1 + y \cdot 0 + z \cdot 0}{1} = x
Genom liknande process för skalärprodukten mellan x\vec{x} och j^\hat{j} och för k^\hat{k} får man: cosα=x=y=z\cos{\alpha} = x = y =z. Därför är X=(x,x,x)\vec{X} = (x,x,x). Det enda som återstår är att denna vektor är en enhetsvektor. Detta innebär att 3x2=1\sqrt{3x^2} = 1 Vilket ger lösningen x=13x = \frac{1}{\sqrt3} (den negativa roten är också en helt giltig lösning till problemet). Edit: notera att eftersom x=cosαx = \cos{\alpha} blir det här exakt samma ekvation som den tidigare lösningen 

X=(13,13,13)\vec{X} = (\frac{1}{\sqrt3},\frac{1}{\sqrt3},\frac{1}{\sqrt3})

Jag förstår fortfarande inte hur facit hade tänkt att man skulle göra men det här funkar ju också så tack så jätte mycket för det!

AlexMu 253
Postad: 23 sep 19:48
Axiom skrev:
AlexMu skrev:
Axiom skrev:
AlexMu skrev:
Axiom skrev:
AlexMu skrev:

Testa att använda
cosα=u·v|u||v|\cos{\alpha} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} där α\alpha är vinkeln mellan u\vec{u} och v\vec{v}

Men hur gör man det för 3 st av samma vinkel?

Såhär tänker jag: Om vi kallar vektorn vi vill hitta för X\vec{X} så vet vi ju att vinkeln mellan X\vec{X} och alla tre koordinataxlar ska vara lika. Vi kan förkorta koordinataxlarna till enhetsvektorerna (1,0,0), (0,1,0) och (0,0,1). Då måste vinkeln mellan X\vec{X} och alla tre enhetsvektorer vara samma. Du kan testa att jämföra skalärprodukten mellan X\vec{X} och respektive enhetsvektor

Man kan säkert göra så men från facit känns det som att man ska köra cosa+cosb+cosc på något sätt, men hur?

Facit förvirrade mig också lite grann, ser inte riktigt vart cosinus i kvadrat kom ifrån. De verkade hoppa över en massa steg. 

Såhär tänker jag att man löser problemet

Visa spoiler

Låt X=(x,y,z)\vec{X} = (x,y,z) enhetsvektorn vi ska hitta. 
Dessutom i^=(1,0,0)\hat{i} = (1,0,0), j^=(0,1,0)\hat{j} = (0,1,0), k^=(0,0,1)\hat{k} = (0,0,1)
Vinkeln mellan X\vec{X} och enhetsvektorerna är densamma.
cosα=X*i^|X||i^|=x·1+y·0+z·01=x\cos{\alpha} = \frac{\vec{X} *\hat{i}}{|\vec{X}| |\hat{i}|} = \frac{x\cdot 1 + y \cdot 0 + z \cdot 0}{1} = x
Genom liknande process för skalärprodukten mellan x\vec{x} och j^\hat{j} och för k^\hat{k} får man: cosα=x=y=z\cos{\alpha} = x = y =z. Därför är X=(x,x,x)\vec{X} = (x,x,x). Det enda som återstår är att denna vektor är en enhetsvektor. Detta innebär att 3x2=1\sqrt{3x^2} = 1 Vilket ger lösningen x=13x = \frac{1}{\sqrt3} (den negativa roten är också en helt giltig lösning till problemet). Edit: notera att eftersom x=cosαx = \cos{\alpha} blir det här exakt samma ekvation som den tidigare lösningen 

X=(13,13,13)\vec{X} = (\frac{1}{\sqrt3},\frac{1}{\sqrt3},\frac{1}{\sqrt3})

Jag förstår fortfarande inte hur facit hade tänkt att man skulle göra men det här funkar ju också så tack så jätte mycket för det!

Vad bra!

Jag ingen aning vad de gjorde heller. Det ledde ju tillslut till samma ekvation, så antingen gjorde de på samma sätt och bestämde sig för att inte skriva ut stegen eller så hade de någon annan metod, men jag kan inte komma på vad det skulle vara för något

Svara
Close