Femhörning, tydligen (Matematik/Årskurs 8)

Gaveln på ett hus, med bredden x och sidohöjden y och höjden till taknocken från marken 2y. Och så ska takdiagonalerna också vara x, så y = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ x.

Man kan också ta en regelbunden femhörning och trampa lite på den. Men de uträkningarna har jag inte gjort.

Hur vet man att det måste vara en femhörning? Kan det inte vara en triangel med sidor x, x och 3y? Känns som att det finns oändligt många figurer som uppfyller kraven, därav kan se ut.

Teraeagle skrev:
Hur vet man att det måste vara en femhörning? Kan det inte vara en triangel med sidor x, x och 3y? Känns som att det finns oändligt många figurer som uppfyller kraven, därav kan se ut.

Vad är arean av en triangel med sidorna x, x och 3y?

Visst, det kanske inte går ihop. Min fråga var mer ifall det går att bevisa att det måste vara just en femhörning, eller kan man tänka sig andra figurer?

Teraeagle skrev:
Visst, det kanske inte går ihop. Min fråga var mer ifall det går att bevisa att det måste vara just en femhörning, eller kan man tänka sig andra figurer?

Intressant fråga.

Dr. G skrev:

Beror lite på hur man tolkar saker men om vi tolkar x och y som parametrar och uttrycken som omkrets respektive areaformler för någon klass av figurer så tycker jag att det känns som att det måste vara rektanglar av dr gs typ.

Om area är proportionellt mot såväl x som y så måste x och y vara två vinkelräta längder i figuren då det är enda viset sådana proportionaliteter kan vara oberoende. Detta kan vara två sträckor som är proportionella mot ett bas-höjd-par eller mot säg mot två diagonaler i en romb.

Oavsett så kan vi tolka skalning av en parameter x som töjning av en figur i någon riktning.

Om dessutom omkretsen ökar linjärt med skalning med parameter x så måste x vara proportionell mot en faktisk sida (inte bara en diagonal) och gäller detsamma för y som ska vara vinkelrät mot x så leder detta till att det rör sig om något rektangulärt.

Jag gör en del endast ytligt motiverade påståenden men likväl så är min förmodan att figuren måste vara en rektangel. Hitta gärna ett annat exempel dock eller ett mer strikt bevis.

SeriousCephalopod skrev:
Beror lite på hur man tolkar saker men om vi tolkar x och y som parametrar och uttrycken som omkrets respektive areaformler för någon klass av figurer så tycker jag att det känns som att det måste vara rektanglar av dr gs typ.
Om area är proportionellt mot såväl x som y så måste x och y vara två vinkelräta längder i figuren då det är enda viset sådana proportionaliteter kan vara oberoende. Detta kan vara två sträckor som är proportionella mot ett bas-höjd-par eller mot säg mot två diagonaler i en romb.
Oavsett så kan vi tolka skalning av en parameter x som töjning av en figur i någon riktning.
Om dessutom omkretsen ökar linjärt med skalning med parameter x så måste x vara proportionell mot en faktisk sida (inte bara en diagonal) och gäller detsamma för y som ska vara vinkelrät mot x så leder detta till att det rör sig om något rektangulärt.
Jag gör en del endast ytligt motiverade påståenden men likväl så är min förmodan att figuren måste vara en rektangel. Hitta gärna ett annat exempel dock eller ett mer strikt bevis.

Det kan vara nästan vilka figurer som helst, om x och y inte ska vara mått i figuren utan bara parametrar.

Då är det väl bara att hålla med om min fasters svar - att det inte går att svara på uppgiften utan mer information.

Smaragdalena skrev:
Då är det väl bara att hålla med om min fasters svar - att det inte går att svara på uppgiften utan mer information.

Jag tror de är ute efter mitt första svar.

Jag håller med Laguna. Vi får tänka att det är en åttonde-klassare som ska lösa uppgiften.

Här är ett förslag, beviset överlämnar jag till er snillen :-)

Edit: Arean går att få fram $A = x y + \frac{x y}{2} = \frac{2 x y}{2} + \frac{x y}{2} = \frac{3 x y}{2} = 1, 5 x y$ v.s.b.
men omkretsen går jag bet på.

Laguna skrev:
SeriousCephalopod skrev:

...
Det kan vara nästan vilka figurer som helst, om x och y inte ska vara mått i figuren utan bara parametrar.

Vet du vad, det där var en bra invändning då det fick mig att inse att man nog bör tydliggöra, iaf för en själv, vad en parametrisering är i det här sammanhanget och leder till en utmaning att beskriva det mer matematiskt.

Så när vi i vanliga fall säger att en mängd M (tex en kurva) parametriseras av en annan V (tex ett intervall [a,b]) är att det existerar någon funktion $f : V \to M$ sådan att f är injektiv och där vi alltså kallar elementen i V för parametrar och $f$ för en parametrisering.

Att där $f(t) = (\cos t, \sin t)$ ( $f : [0,2\pi] \to R^2$ ) är en parametrisering av enhetscirkeln och att t är en parameter.

Dock så är injektion för mig inte tillräckligt för fånga det jag generellt vill ha ut av en parametrisering utan jag förväntar mig att en meningsfull parametrisering också är kontinuerlig vilket har varit något som gnagit lite på mig.

Låt oss nu bli överdrivet matematiska och vad jag tänker mig gällande parametrisering i det här sammanhanget.

Låt M vara mängden av alla sammanhängande hålfria geometriska figurer i planet med definierbara omkretser och areor. (Objekten får ses som ekvivalensklasser av kongruenta $R^2$ -delmängder)

Låt $A: M \to [0,\infty)$ vara areafunktionen som ger arean av en figur och $O : M \to [0,\infty)$ vara omkretsfunktionen.

Sättet jag insåg att jag tolkade frågan var mindre "rita en figur" och mer:

Beskriv en parametrisering av typ $f : (0,\infty)^2 \to M$ sådan att

$A(f(x,y)) = 1.5 xy$ och $O(f(x,y)) = 2x + 3y$ , för alla $$x,y \in (0,\infty)^2$$

Och följdfrågan: Finns det flera signifikant olika sådana parametriseringar.

Nu när jag formulerat det hela på det viset så blir det för mig i alla fall uppenbarare vad frihetsgraderna är hur jag tolkat (eller måste tolka problemet). Så till att börja med är alltså G:s lösning en lösning enligt min formulering.

f(x,y) = "en rektangel med höjd x och bas 1.5 y"

Men låt mig stega mig fram till en ny. Min idé är att börja med att definiera en parametrisering $g$ vars element är kvadrater som tillfredställer omkretskravet $$O(g(x,y)) = 2x + 3y $$ och därefter applicera "invikningsoperationen" på ett hörn tills dess att arean på ett sådant sätt att arean blir 1.5 xy då en sådan operation inte påverkar omkretsen.

Denna parametrisering är likt G:s "kontinuerlig" så min midnattsidé om att det bara fanns en lösning visade sig vara nonsens även med min egna definition av frågan. Möjligt att det går att införa krav på frågan som gör att det måste vara en rektangel.

En annan konstruktion vore att börja med en kvadrat med rätt area och därefter skjuva kvadraten till ett ickekvadratiskt parallellogram tills dess att den uppnår rätt omkrets

Ähmm... är det inte en åttonde-klassfråga vi jobbar med här.

Att starta nya trådar på högskolenivå i denna tråd verkar olämpligt. Även om Smaragdalena har akademisk utbildning så borde vi väl alla försöka hålla oss på högstadienivå?

SeriousCephalopods förklaring ligger en bra bit över åk8-nivå. Jag hoppas få en rapport om vad barnbarnets lärare säger.

Ni kan bara ta konstruktionen i bilden för vad den är utan bakgrund för min tankeprocess att komma fram till den. Det sagt så tycker jag den här grejen med huruvida x,y är beroende/oberoende storheter; om de är parametrar, vem som ska välja dem osv, absolut spelar roll och såsom ofta händer i matematik så är det enklast att uttrycka konkreta idéer i mer avancerat språk.

Mer informellt så måste det finnas någon regel för att avgöra vad som är en acceptabel lösning eller ej - annars är frågan meningslös. Connys förslag är exempelvis inte giltigt per min tolkning då det utgår från att lösaren väljer vilka värden x,y har medan min tolkning är att man apriori ska förbereda en metod för att konstruera figuren som är redo när någon annan väl ger en värden för x,y.

Om x,y är parametrar i min tolkning så är min och G:s lösningar giltiga; om x,y måste vara sidlängder i figuren så är endast Lagunas lösning hittills giltig; om problemet endast är att hitta en figur för ett fritt valt x,y så har endast Conny producerat en lösning.

Frågan kan inte besvaras, eller viktigare, inga nya frågor kan ställas, utan att sådana metafrågor utforskas.

Nja du kan har rätt på rent akademisk nivå, men eftersom frågan förmodligen kommer ifrån en bok ur åk 8 så anser jag att frågan ska försöka lösas med utgångspunkt från att det är möjligt att lösa uppgiften med åk 8 års kunskaper och lite över eftersom det är en utmaning som det står på sidan.

Vad är den ursprungliga frågan? "Hur kan månghörningen se ut om arean är 1,5xy" Den frågan har jag med Lagunas hjälp svarat på med bevis om du orkar läsa hela mitt inlägg. Det bör utan vidare vara en godkänd lösning i åk 8.

Det jag inte klarat av är att bevisa hur man fått fram uttrycket 2x+3y. Kan man förklara det så anser jag att uppgiften är klar.

Jag har läst ditt inlägg ConnyN. Du väljer först x = 6 och y = 4, beräknar omkretsen O = 24, och arean A = 36 och sedan bygger du en 5-hörning som har dessa omkretser och areor. Min invändning är att detta raderar betydelsen av uttrycken 2x + 3y och 1.5xy och gör om problemet till

"Beskriv en figur med omkrets 24 och area 36", vilket du har löst men som skiljer sig från hur jag tolkat problemet.

Om du själv får välja x,y och därmed A,O så finns inget problem. Det speciella med de där uttrycken är att om jag som lösare får välja x,y så kan jag få A,O till vadsomhelst då man från

O = 3x + 2y

A = 1.5 xy

kan vända på det hela till

$x = \frac{1}{6}(O - \sqrt{O^2 - 16 A})$

$y = \frac{1}{4}(O + \sqrt{O^2 - 16 A})$

Detta är gymnasiematte men poängen är att jag genom att välja x,y har full kontroll över A,O (vilket man kan inse med grundskoletestning). Oavsett vilka A,O jag siktar på (typ) så finns x,y som ger de måtten.

Därmed kunde jag i så fall lösa allt baklänges. Börja med att rita en figur. Säg en enhetskvadrat A = 1, O = 4 och därefter ta fram vad x,y ska vara för att det ska passa i formlerna (x = 2/3, y = 1 i det här fallet) men då finns inget problem. Oavsett vilken figur jag ritar så har jag alltid rätt, och det känns som ett dumt problem.

Nej, man måste ha en annan tolkning av problemet.

Det bästa vore egentligen enligt mig att bli av med alla tvetydligheter genom att formulera problemet i strikt geometriska termer. En exempelformulering:

Jag ger dig två pinnar med en viss längd och 3 pinnar med en annan längd. Beskriv hur du kan skapa en figur med hjälp av dessa pinnar som har en area 1.5 gånger så stor som arean av en rektangel bestående av 2 pinnar med den ena längden och 2 pinnar med den andra längden.

(Lagunas deformerade pentagon är då en lösning till denna fråga och problemet är reducerat till att beskriva en process vilket är mer passande för 8:an)

Tack för att du gjorde dig tid att förklara hur du ser på problemet.

Klart, tydligt och pedagogiskt.

Det kan kanske vara bra att tänka på det? Vem skriver jag för? Varför skriver jag det här?

Roligt att få vara med och förstå.

Tack en än gång!

Rapport från min faster:

Hej,
Så här förklarade Klaras lärare:
"Månghörningen" kan vara en rektangel med sidorna x resp 1,5 y.
Då blir ju omkretsen det dubbla
och ytan x gånger 1,5y
(Tydligen var Dr G inne på tanken. Men jag fattade inte vad han menade)
Så var det med den saken.

Kul idé med Pluggakuten!
👍
Tack!

Ingen vacker lösning, tycker jag. Varför skulle man vilja kalla en sida 1,5y?!