10 svar
168 visningar
Qetsiyah 5248 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 19 feb 12:12 Redigerad: 19 feb 12:22

Flervariabelanalys: gränsvärde existerar men behöver visa med definition

Gränsvärdet är noll, men jag ser inget annat sätt att visa det än med defnitionen av gränsvärde vilket blir extremt krångligt. Finns inga alternativ? Jag ser inga sätt att skriva om uttrycket heller. Polära koordinater hjälper inte.

Dr. G 6623
Postad: 19 feb 12:25

Hjälper inte polära koordinater (med centrum i (1,2))?

oggih 879 – F.d. Moderator
Postad: 19 feb 12:27 Redigerad: 19 feb 12:32

Har du försökt faktorisera/kvadratkomplettera i täljaren och nämnaren? Kanske kan det inspirera till något smart variabelbyte?

Visa spoiler

Wolfram Alpha kan hjälpa till om det behövs:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=complete+the+square+x%5E2%2By%5E2-2x-4y%2B5
https://www.wolframalpha.com/input/?i=factor+xy%5E2-4xy-y%5E2%2B4x%2B4y-4

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28xy%5E2-4xy-y%5E2%2B4x%2B4y-4%29%2F%28x%5E2%2By%5E2-2x-4y%2B5%29+in+polar+coordinates

Jag provade bara "simplify...", det blev inte fint så jag gav upp på det. Men ja... då blev det enkelt, jag är inte så kvick på kvadratkomplettering.

oggih 879 – F.d. Moderator
Postad: 19 feb 13:13 Redigerad: 19 feb 13:15

Kvadratkomplettering är alltid ett bra trix att att ha i bakfickan, men även om man inte kommer ihåg hur man gör det i flera variabler, så hade det ändå varit värt att lite mer i blindo bara prova variablelbytet

   x=a+1y=b+2.\left\{ \begin{array}{l}x=a+1\\y=b+2\,.\end{array}\right.

Eftersom vi ska närma oss punkten (x,y)=(1,2)(x,y)=(1,2) så skadar det ju inte att translatera hela sin värdsbild dit, så att det blir vårt nya origo. Har man tur blir funktionen så enkel i de nya koordinaterna att vi direkt ser vad gränsvärdet ska vara. Dessutom öppnar detta koordinatbyte upp för ytterligare ett väldigt kraftfullt verktyg, nämligen polära koordinater! 

Notera också att polära koordinater sällan makear speciellt mycket sense om inte gränsvärdet är in mot origo. Hela styrkan med polära koordinater är ju att vissa problem blir naturligare om de formuleras om i termer att något händer med radien eller vinkeln. Att göra detta som du föreslog är därför lite halvt dömt att misslyckas. 

(Det man däremot kan göra är att direkt välja polära koordinater centrerade runt (1,2), så som Dr. G föreslår, vilket motsvarar sammansättningen av translationen jag beskrev ovan, följt av ett "vanligt" polärt koordinatbyte centrerat i origo. Personligen tycker jag dock att risken för att man gör slarvfel minskar om man delar upp det i två steg: först translationen, sedan polära koordinater.)

Qetsiyah 5248 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 19 feb 13:15 Redigerad: 19 feb 13:16

Ja, jag gjorde det:

oggih 879 – F.d. Moderator
Postad: 19 feb 13:16 Redigerad: 19 feb 13:25

Snyggt!

Dock är jag lite skeptisk till att skriv faktorerna cos(θ)sin2(θ)\cos(\theta)\sin^2(\theta) utanför lim\lim som du gör i sista steget. Det får det att de ut som att de är konstanter, vilket de inte nödvändigtvis är beroende på vilken väg vi tar in mot origio.

Däremot är de begränsade (max 11 och minst -1-1), så därför har de ingen chans att hindra gränsvärdet från att bli 00 när rr blir godtyckligt litet.

Qetsiyah 5248 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 19 feb 16:02 Redigerad: 19 feb 16:02

Nej där håller jag inte med, de är inte konstanter men gränsvärdet involverar inte dem, så då kan de flyttas ut.

oggih 879 – F.d. Moderator
Postad: 19 feb 16:40 Redigerad: 19 feb 17:14

Jag har nog aldrig funderat ordentligt på detta, så jag blir lite osäker nu. Någon som är bättre på analys än mig kanske kan ge ett bättre svar, men jag tror att du har fel.


Till att börja med: När vi skriver

   limr0f(r,θ)=L\lim_{r\to 0} {f(r,\theta)}=L

i det här sammanhanget, så betyder det att vi får gränsvärdet LL när vi närmar oss (0,whatever)(0,\text{whatever}) i "det polära koordinatsystemet" R>0×[0,2π)\mathbb{R}_{>0}\times [0,2\pi) längs vilken tillräckligt slät kurva som helst. Jämför med

   lim(x,y)(0,0)g(x,y)=L,\lim_{(x,y)\to(0,0)} {g(x,y)}=L\,,

som ju betyder att vi får gränsvärdet LL, oavsett vilken kontinuerlig väg in mot origo som vi väljer.


Ett konkret exempel där ditt tankesätt tycks ställa till med problem, är om vi har funktionen

   f:({0})×f:(\mathbb{R}\setminus\{0\})\times\mathbb{R}\to\mathbb{R} med f(x,y)=x2+y2x\,{f(x,y)}=\frac{x^2+y^2}{x}.

Byter vi till polära koordinater får vi en funktion

   f~:R>0×([0,2π){π/2,3π/2})\tilde{f}:\mathbb{R}_{>0}\times{([0,2\pi)\setminus\{\pi/2,3\pi/2\})} med f~(r,θ)=r2rcos(θ)\tilde{f}{(r,\theta)}=\frac{r^2}{r\cos(\theta)}.

Det är rätt tydligt redan i kartesiska koordinater att det inte kommer finnas något gränsvärde när (x,y)(0,0)(x,y)\to (0,0). Du kanske själv kan hitta en kurva in mot origo som leder till divergens?

Visa spoiler

Vad sägs om x(t)=tx(t)=t och y(t)=t1/3y(t)=t^{1/3}?

Vad händer nu i polära koordinater? Vi får gränsvärdet

   lim(x,y)(0,0)x2+y2x=limr0r2rcos(θ)=limr0rcos(θ).\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2+y^2}{x}=\lim_{r\to 0} \frac{r^2}{r\cos(\theta)}=\lim_{r\to 0} \frac{r}{\cos(\theta)}\,.

Här konstaterar jag att vi får gränsvärdet 0 om vi närmar oss längs en konstant vinkel θ{π/2,3π/2}\theta\not\in\{\pi/2,3\pi/2\}. Men om vinkeln ändrar sig under färden in mot origo, på ett sådant sätt att den närmar sig en förbjuden vinkel tillräckligt snabbt, så kan cos(θ)\cos(\theta) gå mot noll så snabbt att vi råkar i trubbel. Jämför med exemplet i spoilern, och försök föreställa dig visuellt vad som händer.

Med ditt skrivsätt känns det som att det finns en risk att man missar detta, och att man skulle man kunna få för sig att man kan skriva om gränsvärdet till

   1cos(θ)limr0r=1cos(θ)·0=0.\frac{1}{\cos(\theta)}\lim_{r\to 0} r=\frac{1}{\cos(\theta)}\cdot 0=0\,.

Qetsiyah 5248 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 22 feb 10:49 Redigerad: 22 feb 10:50

Jag tror numera också att jag har fel, men att det inte spelade någon roll för den uppgiften. Se detta:

limxarctan(cos(θ)x)\displaystyle \lim_{x\to \infty}\arctan(\cos(\theta)x)

Svara Avbryt
Close