Flytta ut konstant vid integral

Hängde nog inte med i alla svängar där, men generellt kan man bryta ut en konstant, $a$, enligt nedan:

$\int af(x) dx=a\int f(x)dx$

Jag vet, förklaringen var lite dålig. För jag vet inte riktigt själv, hur det gick till, för jag förstog inte det med att man kunde ta ur konstanten. 

Men om uträkningen är $K´=\hspace{0.17em}\frac{20}{\sqrt{X}}$
Så skriver man ju ${\int }_{25}^{2000}K´\left(\frac{20}{\sqrt{x}}\right) dx$
Kan man då flytta ur 20 där ifrån, så det blir 1 delat med istället? För det är vad jag tror, dom gjorde. Men det känns som om jag gjort det på andra uppgifter, så hade jag fått helt olika tal. 

Förrut om jag hade haft tex 20-x^2 . Så hade ju konstanten fått ett x. Men att ge 20 ett x här, ger ju ett enormt tal. För det blir 20*2000. Men dom har tagit ur 20 ur integralen. 

Nu förstår jag, din notation blir lite konstig.

$K'(x)=\frac{20}{\sqrt{x}}$

$500+\int_{25}^{2000}K'(x)dx=$

$500+\int_{25}^{2000}\frac{20}{\sqrt{x}}dx=$

$500+20\cdot\int_{25}^{2000}\frac{1}{\sqrt{x}}dx=...$

Hur kommer det sig att man får ta ut konstanten? Är det något som går alla gånger? Eller vad är det för regel som tillåter det i detta fallet? Boken har nämligen inte nämnt detta. 

Så länge det rör sig om multiplikation får du plocka ut konstanten. Det är en del av kravet för att integrering ska vara en linjär operation. 

Hej!

Du förvirrar i ditt första inlägg när du skriver $K'(\frac{20}{\sqrt{x}})$; med sedvanlig matematisk notation betyder detta att $K'$ är en funktion som du stoppar in talet $20/\sqrt{x}$ i. Ditt senare inlägg visar att $K'$ i själva verket är just funktionen $20/\sqrt{x}$; då är det korrekt att skriva att funktionen

    $K'(x) = 20/\sqrt{x}.$

Den totala kostnaden att producera fler än 25 stycken kopior av broschyren är då $K(x)$ kronor där 

    $K(x) = 500 + \int_{25}^{x}\frac{20}{\sqrt{u}}\,du = 500 + \int_{25}^{x}20\cdot u^{-0.5}\ ,$

där $u$ är en integrationsvariabel som man kan välja fritt, så länge som man avstår från de redan upptagna beteckningarna x och K och K'. För att beräkna integralen behöver du inte flytta ut konstanten $20$, men det är tillåtet om du vill göra det. Integralen beräknas till

    $\displaystyle\int 20 \cdot u^{-0.5}\,du = \frac{20u^{-0.5+1}}{1-0.5} = 40u^{0.5}$

och den totala kostnaden för att producera $x$ stycken kopior är 

    $K(x) = 500 + [40u^{0.5}]_{u=25}^{x} = 500 + 40\sqrt{x}-40\sqrt{25} = 500-200 + 40\sqrt{x} = 300+40\sqrt{x}$ där $x > 25.$