Följd av slutna mängder och kompakthet

Upprepar delar av det du redan konstaterat för att se till att vi talar om samma saker.

Det finns ett generellt trick i elementär analys att försöka arbeta in geometriska sekvenser såsom $1/2^n$ i sina lösningar när man vill ha något som minskar på ett garanterat konvergent sätt. 

Min förslag på en ansats är att först välja en punkt $x$ snittet av dina förslutna sekvensmängder och därefter bara, via en beskrivning, förklara hur man kan konstruera en (del)sekvens $(x_i)$ där avstånden mellan punkterna i delsekvensen och punkten i snittet minskar geometriskt. Säg

$|x_i - x| < 1/2^i$

För det får du utnyttja att randpunkters egenskaper är att man kan hitta punkter i mängder som är "godtycklig nära" dem och där den geometriska sekvensen fyller rollen av det där åberopade godtyckliga avståndet. 

Tack för svaret, SeriousCephalopod. Jag tror jag jag kan ha lyckats med uppgiften att beskriva hur man kan konstruera en delföljd som konvergerar till en punkt x i snittet. Den blev något rörig och långdragen men hoppas den inte innehåller några större fel.

Vi konstruerar en delföljd $x_{n_{i}}$ från $x_n$ enligt följande. För att välja $x_{n_{1}}$, betrakta $\{\ x_k : k \geq 1 \}\$. Vi har att $x \in \{\ x_k : k \geq 1 \}\$ eller $x \in \overline{\{\ x_k : k \geq 1 \}\ }$ (eller så är x i båda mängderna). Om $x \in \{\ x_k : k \geq 1 \}\$ eller om x är i båda mängderna så väljer vi det minsta indexet $k \geq 1$ sådant att $x_k = x$ och låter $x_{n_{1}}=x_k$ (detta kan göras genom well-ordering principle). Om $x \in \overline{\{\ x_k : k \geq 1 \}\ }$ och $x \notin \{\ x_k : k \geq 1 \}\$ så väljer vi det minsta indexet $k \geq 1$ sådant att $d(x_k,x)<1$ (detta kan göras då x är en randpunkt till $\{\ x_k : k \geq 1 \}\$).

Antag nu att vi har valt element $x_{n_{1}},x_{n_{2}}, \dots ,x_{n_{i}}$ till vår delmängd, där $n_{i}=j$. Vi väljer då $x_{n_{i+1}}$ enligt följande. Betrakta mängden $\{\ x_k : k \geq j+1 \}\$. Vi har att $x \in \{\ x_k : k \geq j+1 \}\$ eller $x \in \overline{\{\ x_k : k \geq j+1 \}\ }$ (eller så är x i båda mängderna). Om $x \in \{\ x_k : k \geq j+1 \}\$ eller om x är i båda mängderna så väljer vi det minsta indexet $k \geq j+1$ sådant att $x_k = x$ och låter $x_{n_{i+1}}=x_k$. Om $x \in \overline{\{\ x_k : k \geq j+1 \}\ }$ och $x \notin \{\ x_k : k \geq j+1 \}\$ så väljer vi det minsta indexet $k \geq j+1$ sådant att $d(x_k,x)<1/(i+1)$.

Genom induktion kan vi då säga att vi har konstruerat en delföljd $x_{n_{i}}$ från $x_n$ som uppfyller följande. För varje $i$ har vi att $x_{n_{i}}=x$ eller $d(x_{n_{i}},x)<1/i$, så delföljden konvergerar till x.

Ser ut att fungera. Kanske lite på den plottriga sidan formuleringsmässigt men så blir det lätt.