Första ordningens differentialekvation

Jag tror du glömmer att du måste multiplicera med $e^{2\ln(x)}$ i HL också. Detta gör att du får en enklare integral.

Aha, du har helt rätt. Fast jag ser inte riktigt hur det blir lättare, nu har jag:

$y{e}^{2\ln x}=\int \frac{e^{x^2}·e^{2\ln x}}{x}$ 

Jag vet inte riktigt hur man kör partialintegration om jag har tre faktorer... eller kan man förenkla uttrycket?

$e^{2\ln(x)}$ kan förenklas till $x^2$. Ser du hur?

Nej, tyvärr

En logaritmlag ger:

$e^{2\ln(x)}=e^{\ln(x^2)}=...$

Hej!

Multiplicera din diff med $x$ för att få

    $x^2y'(x)+2xy(x) = xe^{x^2}.$

Notera sedan att derivatan av produkten $x^2y(x)$ ges av Produktregeln till $(x^2y(x))' = x^2y'(x) + 2xy(x)$ vilket är precis det som är diffens vänsterled.

    $\displaystyle(x^2y(x))' = xe^{x^2} \iff x^2y(x) = C + \int xe^{x^2}\,dx$.

Sedan ger Kedjeregeln att derivatan till funktionen $e^{x^2}$ är lika med funktionen $2xe^{x^2}$ så att integralen lätt beräknas till

    $\displaystyle\int xe^{x^2}\,dx = 0.5 e^{x^2}.$

Differentialekvationens lösningar är därför

    $\displaystyle y(x) = \frac{C}{x^2} + \frac{1}{2x^2}e^{x^2}.$

Nu har jag löst den, tack så mycket!