Fysik och Matematik

Vet du vilka formler du skall använda?

Räkna om hastigheterna till m/s.

Hur lång tid tar accelerationen? Kalla den tiden T.

Vad är v när t = T/2?

Om man gör saker generellt så kan man ibland finna intressanta samband, vilket man kan göra här, men det kanske blir lite överkurs. Vi vet att

$$\begin{gathered} v\left(t\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{v}_0+at, \\ s\left(t\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2 \end{gathered}$$

Där $v_0$ är starthastigheten och a är accelerationen. Från andra formeln så kan man lösa ut att

$t=\frac{-v_0\pm \sqrt{v_0^2+2as}}{a}$

Notera att ena roten kan förkastas eftersom det innebär att tiden är negativ, så vi har kvar att

$t =\hspace{0.17em}\frac{-v_0+\sqrt{v_0^2+2as}}{a}$

Sätter vi in detta i formeln för hastigheten så får man sambandet

$v\left(s\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{v}_0+(-v_0+\sqrt{v_0^2+2as}) =\hspace{0.17em}\sqrt{v_0^2+2as}$

Säg att våran sluthastighet är $v_1$ vid sträckan $s_1$, detta innebär att

$v_1=\sqrt{v_0^2+2a{s}_1}\Rightarrow a =\hspace{0.17em}\frac{v_1^2-v_0^2}{2s_1}$

Detta ger oss nu att

$v\left(\frac{s_1}{2}\right)=\sqrt{v_0^2+2·\frac{v_1^2-v_0^2}{2s_1}·\frac{s_1}{2}}=\sqrt{\frac{v_1^2+v_0^2}{2}}$

Så hastigheten på mitten av sträckan är alltså

$\sqrt{\frac{{77}^2+{110}^2}{2}}\approx 94.94$

(Rekommenderar metoden smaragdalena antyder)

Detta är också en aning överkurs men om man är villig att verkligen generalisera så kan vi göra följande:

Den underliggande idén att mekanisk energi är bevarad  och att bevarandet av energi ("skillnad i rörelseenergi är lika med skillnad i potentiell energi") i gravitationsfält är inte den explicita formeln

$\frac{mv_2^2}{2} -\frac{m v_1^2}{2}=mg \Delta h$

utan istället den allmänna observationen att kvadraten av hastigheten för en kropp under konstant accelleration är en linjär funktion av dess position.

Gymnasieleven kan därmed rimligtvis ta

$v^2=ks+m$ (där $s$ alltså är en lägeskoordinat)

som utgångspunkt och stoppa in känd information i uttrycket och lösa ut det man vill ha.

Är man dock bekant med den allmänna tekniken för hur man enkelt konstruerar en linje mellan två punkter $p(t)=p_2t+p_1(1 - t)$ parametriserad så att den går genom punkterna vid 0 respektive 1, kan dock göra detta utan några manipulationer alls.

Vår funktion $v(s)^2$ ska alltså vara linjär och ha egenskapen $v(0)^2 = v_1^2$ samt $v(L)^2 =v_2^2$ där $L$ alltså är positionskoordinaten för den andra punkten eller helt enkellt avståndet mellan de två platserna där man mäter hastigheten Det inses snabbt att formeln är

$v^2 = v_2^2 \frac{s}{L} + v_1^2 \left (1- \frac{s}{L}\right )$

vilket är så elegant det kan bli i mina ögon (om man bortser från pluggakutens horribla formatering)