Gå till botten med "lokal termodynamisk jämvikt"

Bump

bump

bump

Det finns många positiva analogier mellan densiteter och temperatur- och entropi-fält i meningen att de är (vid homogenitet) intensiva storheter som varierar i rummet och fångar någon slags medel-egenskap hos små block av materia. Varför densitet är ett något missvisande begrepp är att densiteter alltid är densiteter av något i meningen att produkten av densiteter och måttet (ofta volym eller area) med avseende på vilket  definieras, rho dV, j dA, osv är en meningsfulla extensiva storhet. Entropi och temperatur uppfyller inte detta kritere då TdV eller SdV inte är något i allmänhet så de är inte densiteter av något.

edit: Jag skulle bara kalla det för entropi-fält eller temperatur-fält snarare än densiteter (men densiter är exempel på skalärfält)

I praktiken är hela konceptet "kontinuerlig termodynamik" inte någon fundamental modell utan en hypotes som kan stämma eller inte stämma i ett givet sammanhang.

För många system finns en intermediär skala mellan makro och atom-mikro där volymelement på denna intermediära har väldefinierade storheter som varierar "kvasikontinuerligt" mellan angränsande element, men den intermediära skalan är inte infinitessimal i absolut matematisk mening. Skalan är inte absolut utan beror av systemet och modellen.

Jag läser just nu en kurs i plasma-fysik så låt mig diskutera det lite grann då plasma-teorin i alla fall har några domänspecifika mått på när termodynamiskt härledda modeller anses vara rimliga. Plasmor består av fria joner och elektroner som har extremt starka par-interaktioner på små skalor med komplexa rörelser. Många plasmamodeller som har med vågor att göra utgår därför från att man endast analyserar dem på skalor (eller "zoomnivåer") där ett "infinitessimalt block" av plasma är så kallat "kvasi-neutralt", i meningen att det innehåller ungefär lika många elektroner som joner. Skalan som man måste överstiga för att detta ska vara en bra approximation korresponderar i grova drag till debye-längden vilken är proportionell mot kvadratroten av kvoten av temperatur och densitet $\lambda \propto \sqrt{T/\rho}$. Det ironiska är att denna zoomnivå kan vara löjligt stor i absoluta termer. I jordens yttre magnetosfär är debyelängden flera meter så modellens "infinitessimala element" kan vara stor som en SL-buss. Modellen är fortfarande kontinuerlig men det är liksom förbjudet att zooma för mycket. Temperaturfältet och entropifältet har liknande begränsningar men beror av vad systemet är för något.

I just detta plasma-fall är det inte temperatur-upplösningen som var begränsningen så jag erkänner att det är något av en bait-and-switch men är fortfarande illustrativt hur "minsta meningsfulla längden" i en termodynamisk modell är kontext-beroende och därmed inte kan formuleras i abstrakta termer.

Tack för svar och jämförelsen med plasmafysik! Jag är med på att det bara är en hypotes som antingen stämmer eller inte, inte något "fundamentalt" på samma sätt som t.ex. den klassiska termodynamikens postulat. 

Vad gäller entropidensitet så tänkte jag faktiskt en densitet, alltså en funktion $s=s(\mathbf{r},t)$ sådan att

$\displaystyle S=\iiint_V s\left(\mathbf{r},t\right)dV$

Jag tror att jag har sett antaganden liknande detta tidigare men det är väldigt svårt att hitta beskrivningar av detta i litteraturen (antagligen eftersom icke-jämviktstermodynamik är väldigt svårt och fortfarande är ett aktivt forskningsfält). Exempelvis i kemisk reaktionsteknik finns det en typ av reaktor som kallas för en tubreaktor (PFR) som karaktäriseras av radiell konstans med axiell variation i alla relevanta storheter (temperatur, kemisk potential etc.). Här är en bild från Wikipedia:

Det lokala jämviktsantagandet i detta fall verkar alltså vara att alla intensiva termodynamiska fält är kontinuerligt definierade längs flödesriktningen. Men då är frågan förstås, hur är entropin definierad? I klassisk termodynamik där entropin är extensiv definieras ju temperaturen som

$\displaystyle \frac{1}{T}\equiv \left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{N,V\dots}$

men en "skiva" vid en axiell punkt har ju ingen rumslig utbredning, så det finns ingen extensiv entropi (eller intern energi för den delen) att tala om. Det är i fall som dessa där jag tror att vi behöver någon intensiv version av entropin. 

Jag har hört vissa säga att "varje volymelement $dV$ är i termodynamisk jämvikt" och resonerat i termer av varje elements extensiva storheter (som Callen verkar vilja göra), men jag tror att detta är en feluppfattning eftersom det är omöjligt (påstår jag) att faktiskt precisera vad man menar med det bortom någon vag intuition. Det finns oändligt många olika spatiala indelningar man skulle kunna göra av ett system, och beroende på vilken man väljer skulle man få olika värden på sina termodynamiska storheter vid varje axiell punkt.

Entropi är en svårnavigerad storhet och jag håller med att begreppen inte känns som att de är logiskt väl länkade till varandra men jag förstår inte ditt påstående att

Det finns oändligt många olika spatiala indelningar man skulle kunna göra av ett system, och beroende på vilken man väljer skulle man få olika värden på sina termodynamiska storheter vid varje axiell punkt.

Notis (edit): Resonemanget nedan stämmer inte utan försökte bara ta temperatur-definitionen och byta T mot S men det går såklart inte då ena är intensiv och andra är extensiv. Jag låter dock inlägget stå.

Vad är fel med att bara definiera entropi-funktionen via ett konceptuellt gränsvärde hos entropin hos små element runt punkten

$S(\mathbf x) = \lim_{\delta V \to 0} S(\delta V) \qquad (x \in \delta V)$

där vi alltså tar alla sammanhängande volymer som innehåller $\mathbf x$ och sedan successivt isolerar oss till de mindre och mindre volymerna tills entropi-funktionen "gått mot ett gränsvärde".

Matematikern kanske vill att man gör något slag limsup-konstruktion eller mer parametriserat gränsvärde som

$S(\mathbf x) = \lim_{R \to 0} S(\{y \in \mathbf R^3 \; : \; |x - y| < R\})$

I numeriska sammanhang kunde man boktsavligen ta en karaktäristisk längdskala som inedlningen

$S(\mathbf x) = S(\{y \in \mathbf R^3 \; : \; |x - y| = R_{characteristic}\})$

I praktiken gör man aldrig detta såklart men förhoppningsvis illustrerar detta varför jag inte är med på att det inte skulle gå...

EDIT: Det fysikaliska antagandet är att man tillslut når en längdskala över vilken systemet är i jämvikt. Väl nere på den längdskalan är entropin intensiv i meningen att halvering av systemets storlek inte resulterar i någon ändring av entropin vilket är varför gränsvärdet borde gå mot något annat än noll trots att volymen går mot noll.

EDIT: Okej här gick jag på en tankevurpa, temperaturen är intensiv men entropin är extensiv så mitt argument fungerar för temperatur men inte för entropi

Okej nu förstår jag själv vad jag inte förstått med din frågeställning. Du växlar hela tiden fram och tillbaka mellan att prata om temperatur och entropi i samma mening när hela poängen är att de är olika typer av storheter. Hade varit lättare att följa om du aldrig nämnt temperatur eller diskuterat kontrasten.

Eftersom temperatur är intensiv (vid homogenitet) så är dess kontinuerliga utvidning bara samma.

Eftersom entropin är extensiv (vid homogenitet) så måste den kontinuerliga motsvarigheten tas som antingen en densitet med avseende på volymen eller någon annan extensiv storhet, dvs som densiteter -- ja.

Skälet till att jag är så ovan vid detta är att man i fysikaliska modeller sällan faktiskt definierar entropifältet utan ansätter kriterier som ersätter entropin som frihetsgrad. 

För en ideal gas är vi exempelvis bekanta med att om en ideal gas genomgår en process där entropin är konstant så har vi att

$PV^\gamma = \text{konstant}$

Om man i en fysikalisk teori vill att entropin ska vara konstant över tid (exempelvis på grund av att konvektiv värmetransport dominerar över diffusiv värmetransport) så gör man inte det genom att säga att $\partial S(x)/\partial t = 0$ utan istället genom att säga att det kontinuerliga trycket p och det kontinuerliga densitetyen $\rho$ (båda intensiva storheter) ska tillfredställa

$p \rho^{-\gamma} = \text{konstant}$

(via $V = m/\rho \propto \rho^{-1}$)

Så trots min reservation från början så landar vi ändå i att Ja entropin måste ersättas med en densitet, men att man i många teorier väljer att modellera med de fysikaliska fälten istället för entropifältet.