Bevisa formel för area

Hej!

Prova att integrera vektorfältet $F(x,y)=(P(x,y), Q(x,y)) = (-y, x)$ längs den slutna kurvan i din bild.

Greens formel kommer att ge dig 2*kvartsellipsens area uttryckt som en kurvintegral som du beräknar genom parameteriseringar av de tre kurvstyckena som utgör den slutna kurvan.

Albiki skrev:

Hej!

Prova att integrera vektorfältet $F(x,y)=(P(x,y), Q(x,y)) = (-y, x)$ längs den slutna kurvan i din bild.

Greens formel kommer att ge dig 2*kvartsellipsens area uttryckt som en kurvintegral som du beräknar genom parameteriseringar av de tre kurvstyckena som utgör den slutna kurvan.

Sorry Albiki, för mycket jag är obekant med!

Har du något enklare i stil :

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a\cos \left(t\right)\\ b\sin \left(t\right)\end{array}\right. \\ A = (typ!) a\cos \left(t\right)b\sin \left(t\right) \end{gathered}$$

Nej, det räcker inte att hitta på en parameterisering av ellipsen och så (tadaa!) trillar arean ut.

Vill man använda parameterisering på något sätt för att beräkna arean så kan man göra som jag föreslår. Om du ännu inte lärt dig Greens formel så har du något att se fram emot! :)

Greens formel säger att kurvintegralen

    $\oint_{\partial D} P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy$

längs kurvan $\partial D$ (som är exakt den som du ritat i din bild) är lika med dubbelintegralen

    $\iint_{D} \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\,dxdy$

där $D$ betecknar området (kvartsellipsen) som omges av kurvan $\partial D$. Med vektorfältet $(P,Q)(x,y) = (-y,x)$ blir $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2$ så dubbelintegralen är lika med

    $\iint_{D} \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\,dxdy = \iint_{D} 2\,dxdy = 2 \iint_{D} \,dxdy = 2\cdot \text{Area}(D).$

Det är $\text{Area}(D)$ som är en $1/4$ av ellipsens area och du vill visa att dubbelintegralen

    $2\cdot\text{Area}(D) = 2\cdot \frac{\pi ab}{4} = \frac{\pi ab}{2}$.

Om man kan visa att kurvintegralen är lika med $\frac{\pi ab}{2}$ så följer det alltså från Greens formel att ellipsens area är lika med $\pi ab$.

Kurvintegralen kommer att beräknas med hjälp av parameteriseringar, som du önskade.

Kurvan $\partial D$ består av tre delar:

• Den räta linjen ($L_x$) som går längs x-axeln från $x = 0$ till $x=b$.
• Kvartsellipsen ($E$) som går från punkten $(b,0)$ till punkten $(0,a)$.
• Den räta linjen ($L_y$) som går längs y-axeln från $y=a$ till $y=0$.

Längs linjen $L_x$ är $y=0$ och $dy=0$ vilket gör att  kurvintegralen längs $L_x$ är lika med noll.

    $\oint_{L_x} P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=\int_{x=0}^{b}P(x,0)\,dx=\int_{x=0}^{b}(-0)\,dx=0.$

Längs linjen $L_y$ är $x=0$ och $dx=0$ vilket gör att kurvintegralen längs $L_y$ är lika med noll.

    $\oint_{L_y}P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=\int_{y=a}^{0}Q(0,y)\,dy=\int_{y=a}^{0}(0)\,dy = 0$.

Längs kvartsellipsen $E$ använder jag din parameterisering

    $x(t) = a\cos t$ och $y(t) = b\sin t$ där parametern går från $t=0$ till $t=\pi/2$.

och skriver

    $dy = \frac{dy}{dt}\,dt = b\cos t\,dt$ och $dx = \frac{dx}{dt}\,dt = -a\sin t\,dt$

så att kurvintegralen längs $E$ kan skrivas såhär:

    $\int_{t=0}^{\pi/2}P(x(t),y(t))\cdot(-a\sin t)\,dt+Q(x(t),y(t))\cdot(b\cos t)\,dt=\int_{t=0}^{\pi/2}(-b\sin t)\cdot(-a\sin t)\,dt+(a\cos t)\cdot(b\cos t)\,dt=\int_{t=0}^{\pi/2}ab(\sin^2 t+\cos^2 t)\,dt=ab\cdot\int_{t=0}^{\pi/2}\,dt=\frac{\pi ab}{2}.$

Kurvintegralen längs $\partial D$ är lika med summan $0+0+\frac{\pi ab}{2}$ som alltså verkligen är lika med $\frac{\pi ab}{2}$ som är precis vad som behövdes för att visa att arean för hela ellipsen är $\pi ab$.

Tadaa! (Klistra in en valfri bild på en trumpetande katt!)

Tack Albiki!

Det är något att se fram emot. Nu har jag sett en tjärna på tråden, jag återkommer nog om några veckor där jag har börjat flervariabel.