Gator
På Manhattan i New York är gatorna i kvarteren parallella. Anta att du ska gå från korsningen 5th Avenue och 35th Street till Chrysler building.
På hur många sätt kan du då gå den kortaste vägen?
Min första tanke är att den kortaste vägen är att ta 7 gator uppåt och 3 åt höger fast vet inte riktigt hur det ska användas med formeln n!/(n-r)!*r! för det ska vara att jag ska välja ut r element av n fast vet inte vad detta n är är det val och ifall det är fall vad ska då r stå för?
Om du går 7 steg uppåt och 3 steg åt höger så är du framme.
På 10 steg så ska 3 vara åt höger (och 10 - 3 uppåt). 3 av 10 kan väljas på ... sätt.
Fast jag hänger inte riktigt med hur det förklaras med formeln n!/r!*(n-r)! så n!/(n-r)! hade gett permutationerna av alla vägar och sedan divideras det med r! för att det är hur många sätt 3 element kan skrivas på för att få reda på kombinationerna och förstår fortfarande hur man kan välja 3 av 10 för att få reda kombinationerna
Edit: Förstår att lösningen är 10!/3!(10-3)! förstår bara inte varför pga ovanstående anledningar
Är du med på att kortaste vägen är att gå 7 kvarter uppåt och 3 åt höger? Alla andra vägar är fler steg.
Du behöver alltså välja 10 ggr om du skall gå åt höger eller uppåt, och du behöver gå åt höger exakt 3 ggr och uppåt 7 ggr. Håller du med om det?
Är du med på att antalet sätt att göra denna promenad motsvarar att välja ut vilka tre gånger man skall gå åt höger (av de tio möjliga)?
Att det finns 10 val att göra och man ska välja när man under dessa 10 val ska gå åt höger totalt 3 gånger?
Ja. På hur många olika sätt kan du välja ut 3 av 10? Spelar ordningen någon roll i det här fallet, d v s spelar det någon roll om du väljer att gå åt höger i korsning 2,5 och 6 eller i korsning 5, 6 och 2, exempelvis?
Håller med, ordningen spelar ingen roll. På hur många olika sätt kan man gå från start till mål, kortaste vägen?
10!/3!(10-3)!=120
Fast förstår inte riktigt vad hade permutationerna varit att vid punkterna man tar höger varierar så att man kan ta den första högern vid gatan 5 men den högern kan också tas vid gatan 6?
Tänk dig att du bestämmer dig för vilka gathörn du skall svänga i redan innan du går hemifrån. Om du inte svänger åt höger förrän du kommer till gathörn nummer 6 så har du ju redan sumpat många möjliga vägar.
Fast förstår inte vad som är permutationerna med gatan?
Du kan också göra om problemet till en kombination av placering av tecken.
Låt vägval till höger motsvara H och vägval upp motsvara U.
Då har du 3 st H och 7 st U som ska placeras i rad, dvs totalt 10 tecken.
På hur många sätt kan 3 H placeras i 10 teckenhållare? (ordningsföljden har ingen betydelse)
Jo, på 10 över 3 sätt. Dvs C(10,3)
Har tänkt så också fast förstår inte vad permutationerna är när det kommer till gatorna
Varför vill du räkna med permutationer? Vi försöker förklara för dig att det är kombinationer du skall använda, eftersom ordningen inte spelar någon roll. Du var ju med på detta för cirka 10 timmar sedan.
Alltså förstår varför man ska räkna kombinationera och hur det hela fungerar fast vill förstå vad är det som sker om man endast räknar permutationeran för tycks inte förstå det
Om du räknar permutationerna av 3 bland 10 blir det som att dina högersvängar numreras:
Vägen jag har ritat ut är "3 höger följt av 7 uppåt". Om vi tar hänsyn till ordningen av dessa tre höger räknar vi in alla dessa promenader:
H1-H2-H3, 7 upp
H1-H3-H2, 7 upp
H2-H1-H3, 7 upp
H2-H3-H1, 7 upp
H3-H1-H2, 7 upp
H3-H2-H1, 7 upp
Men att gå genom dessa korsningar i någon annan ordning än H1-H2-H3 är ju inte aktuellt. Så, om du räknar permutationerna 10!/(10-3)! kommer du få in 5 omöjliga promenader för varje möjlig promenad, eftersom "högerkorsningarna" kommer sättas i alla möjliga ordningar. De möjliga promenaderna är alltså en sjättedel, dvs 1/3!, av permutationerna 10!/(10-3)!.
Fast jag försöker nu föreställa mig ett träd diagram ifall vi ska välja tre element av 10 så är det väl inget som säger att det måste vara alla H1,H2 och H3 som kombineras utan även U1,U2,U3,U4...U7 hur kommer då multiplikation av detta dvs 10*9Ä8 leda till alla permutationer av höger?
Om du skulle vilja beräkna alla sätt att ordna elementen H1, H2, H3, U1, U2, ..., U7 så räknar du permutationer av 10 objekt, vilket är 10!.
Fast om jag ska välja 3 element av 10 så har jag ju först 10 val att välja mellan sedan 9 och sedan 8 då blir det 10*9*8 och det första valet kan ju vara H1,H2,H3,U1,U2.....U7
Jag försöker tänka uppgiften som en styrelse ifall du har 8 personer och du ska välja ut tre av dessa så kan det första valet vara vilken som helst av dessa 8 är det inte samma sak här? Ifall du har 10 val möjligheter och du ska välja ut en av dessa som första val så kan det vara H1,H2,H3, U1...U7
Om vi tänker så här då:
Vi har 10 saker att lägga ut på en rad, säg bollar i olika färger. Vi verkar överens om att antalet färgsekvenser vi då kan bilda är 10!. (10 olika kan vara första bollen, 9 kan vara nästa, osv).
Säg nu att Bosse är färgblind, och tycker att 3 av bollarna är mörka och 7 är ljusa. Hur många unika sekvenser ser han? Vi kan räkna ut hur många "verkliga" färgsekvenser som för honom ser helt likadana ut genom att räkna på permutationer av de två sorterna.
Ta då som exempel sekvensen som för honom är MMMLLLLLLL (3 mörka, följt av 7 ljusa). De tre mörka färgerna är egentligen tre olika, och kan vara de tre första i sekvensen på 3! olika sätt. På samma sätt kan de ljusa färgerna vara de sju sista på 7! sätt. Så Bosse ser 3! * 7! såna här sekvenser. Samma sak kommer gälla sekvensen LMLLLMLMLL. Alla sekvenser han ser, kommer dyka upp 3!*7! gånger.
Därför, om vi vill veta hur många unika sekvenser han kan se, dividerar vi bort upprepningarna: .
Fast hur gäller detta för gatorna då det endast finns 7 upp och 3 åt höger?
Därför att varje sekvens på 10 tecken med tre H och sju U är precis ett sätt att gå till målet. Om jag ger dig sekvensen UUHUUHUUHU så kan du rita ut den promenaden, eller hur? Så, vi undrar hur många såna sekvenser som finns.
Så då kan U också variera? Så om jag har U1U2...U7H1H2H3 som ett sätt och varierar det så är det permutationerna t ex U3U4U3U2...U7H1H2H3?
Varje sekvens kan bara promeneras på ett sätt. UUHUUHUUHU läser du från vänster till höger, och går alltså "upp, upp, höger, ...". När du börjar indexera och flytta ordning på dem så får du med fallen där man t.ex. går sin andra höger innan man går sin första, och det funkar ju inte. Det blir sci-fi och tidsparadoxer.
Så ja, rent matematiskt kan du variera, dvs permutera, dina U1...U7 och H1...H3, men för att få de sekvenser som motsvarar en promenadbar väg ska du bara titta på "Bosses sekvenser".
Jo jag förstår såklart men det jag vill förstå är vad formeln 10!/3!*7! innebär i detta fallet 10!/7! ger permutationerna fast är dessa permutationer där borde H och U varierar och flyttas om så som jag skrev sist och sedan divideras det med 3! för att få fram antalet kombinationer då dessa 3 element kan skrivas på 3! Sätt? Och ifall även U nu varierar vad är anledningen till att man väljer tre element av 10?
10! är alla permutationer av H1..H3 och U1...U7.
Sen vill vi dividera bort alla ogiltiga lösningar, där några H:n eller U:n kommer i fel ordning. Alla H:n måste vara i stigande ordning, och alla U:n måste vara i stigande ordning, annars tidsparadox.
H:n kan permuteras på 3! sätt, U:n på 7! sätt. Det innebär att varje "Bossesekvens" (indexlös sekvens) som UUHUUHUUHU kommer upprepas 3! * 7! gånger. Så, man dividerar med 3! * 7! för att räkna sekvenserna.
Med beräkningen 10! / 7! så har man skalat bort alla felordningar av U:n, så kvar har man sekvenser av typen där alla H:n fortfarande kommer i alla sex ordningar.
Och på samma sätt, räknar man 10! / 3! så skalar man bort alla felordningar av H, så kvar får man sekvenser där U fortfarande kommer i alla 7! ordningar:
alltås förlåt förstår inte detta gjorde det bara ännu mer förvirrat
Jag försöker förklara vad de olika beräkningarna ger, för detta låter som vad du vill reda ut. Här är sammanfattningen:
10! = antal sekvenser av typen (alla permutationer)
10! / 7! = antal sekvenser av typen (permutationer där olika ordningar på U räknats bort)
10! / 3! = antal sekvenser av typen (permutationer där olika ordningar på H räknats bort)
10! / (3!7!) = antal sekvenser av typen (permutationer där alla inbördes ordningar på U och H räknats bort)
Okej detta är min uppfattning än så länge av vad jag har förstått
10! leder till alla möjliga kombinationer av U1-U7 och H1-H3
Vi ska välja 3 element av 10 och sedan lägga på de resterande 7 valmöjligheterna i ordning som leder till en väg jag tänker detta som en styrelse av 10 personer där 3 ska ha olika roller och resterande 7 kommer ha samma roll kommentera gärna om det är fel uppfattning sedan varför vi väljer 3 element av 10 förstår jag inte riktigt då även U och H kommer att kombinerad inte bara H
Sedan dividerat vi 10*9*8 på 3! Då det är 6 olika sätt som de kan skrivas på så vi får den kombinationen som går i ordning
Varför tycker du att högersträckorna har olika roller, medan uppåtsträckorna har samma roll? Jag ser det som att det finns tio sträckor att promenera, och dessa finns i två olika sorter.
Eftersom vi väljer tre element av 10 då uppfattar jag som att resterande är samma uppåt
Ja, vi väljer tre sträckor av tio då vi går åt höger. Övriga sträckor går vi uppåt. Men dessa två (höger, uppåt) är de enda "roller" som finns. Det enda som skiljer olika "höger" åt är var i sekvensen de ligger, och samma sak gäller ju för "uppåt".
