Genarliserad trippelintegral1 (Matematik/Universitet)

$\dfrac{\sqrt{r^2+r^2}}{0+r^4}\cdot r=\dfrac{\sqrt{2r^2}}{r^4}\cdot r=\dfrac{\sqrt{2}r}{r^4}\cdot r=\dfrac{\sqrt{2}r^2}{r^4}=\dfrac{\sqrt{2}}{r^2}$

Är det detta du undrar över?

AlvinB skrev:
$\dfrac{\sqrt{r^2+r^2}}{0+r^4}\cdot r=\dfrac{\sqrt{2r^2}}{r^4}\cdot r=\dfrac{\sqrt{2}r}{r^4}\cdot r=\dfrac{\sqrt{2}r^2}{r^4}=\dfrac{\sqrt{2}}{r^2}$
Är det detta du undrar över?

Aa precis.

Men varför förenklar/beräknar man just den?

Poängen är ju att leta efter en funktion som är större än funktionen vi egentligen vill integrera. Kan vi visa att integralen av den större funktionen konvergerar vet vi även att integralen av den mindre funktionen konvergerar.

I detta fall ser vi att det är enkelt att visa att:

$\dfrac{r^2+1}{1+r^4}\cdot r\leq\dfrac{r^2+r^2}{0+r^2}\cdot r$

samt att det går att förenkla den högra integralen så att den blir mycket enkel att beräkna.

AlvinB skrev:
Poängen är ju att leta efter en funktion som är större än funktionen vi egentligen vill integrera. Kan vi visa att integralen av den större funktionen konvergerar vet vi även att integralen av den mindre funktionen konvergerar.
I detta fall ser vi att det är enkelt att visa att:
$\dfrac{r^2+1}{1+r^4}\cdot r\leq\dfrac{r^2+r^2}{0+r^2}\cdot r$
samt att det går att förenkla den högra integralen så att den blir mycket enkel att beräkna.

och man lägger till +1 i HL där, för att vi uppskattar uppåt?
& varför uppskattar man uppåt?

Om du vet att funktionen f(x,y,z) <g(x,y,z) för alla "intressanta" värden på x, y och z, och du vet att integralen av g(x,y,z) är konvergent, d v s inte oändligt stor, så kan inte integralen av f(x,y,z) vara oändligt stor.

Man väljer att byta ut värdet på z² i täljaren mot 1 och i nämnaren mot 0, eftersom man vill få fram ett större funktionsvärde än det "riktiga".

Smaragdalena skrev:

Man väljer att byta ut värdet på z² i täljaren mot 1 och i nämnaren mot 0, eftersom man vill få fram ett större funktionsvärde än det "riktiga".

Och detta kan man göra bara pga att $z \in [0,1]$ ?

mrlill_ludde skrev:
Smaragdalena skrev:

Man väljer att byta ut värdet på z² i täljaren mot 1 och i nämnaren mot 0, eftersom man vill få fram ett större funktionsvärde än det "riktiga".
Och detta kan man göra bara pga att $z \in [0,1]$ ?

Ja.