Generators and Direct Products

Låt $G$ vara en grupp, och låt $S\subseteq G$ vara en delmängd. Då betecknar $\langle S\rangle$ delgruppen av $G$ som genereras av $S$, som per definition består av alla gruppelement som kan uttryckas som en ändlig produkt av elementen i $S$ och deras inverser (i valfri ordning, och med hur många upprepningar man vill!).

Exempel. Om $S=\{a,b,c\}$ så kommer $\langle S\rangle=\langle a,b,c,\rangle$ bland annat att innehålla följande element:

• $b$
• $a^{-1}$
• $b^{-1}{\color{gray}\star} c{\color{gray}\star} b{\color{gray}\star} a$
• $a{\color{gray}\star} b{\color{gray}\star} b{\color{gray}\star} c^{-1}{\color{gray}\star} a$
• $a{\color{gray}\star} b{\color{gray}\star} a{\color{gray}\star} b{\color{gray}\star} a^{-1}{\color{gray}\star} c^{-1}{\color{gray}\star} b{\color{gray}{\color{gray}\star}} b{\color{gray}\star} b{\color{gray}\star} b{\color{gray}\star} b$.

I ditt fall är $G=\mathbb{Z}$ och $S=\{9,12\}$. Det betyder att $\langle 9,12\rangle$ bland annat kommer innehålla $9+(-12)+(-12)+(-9)$ och $(-9)+12+12+12$. Eftersom $\mathbb{Z}$ är abelsk kan vi "samla ihop termer av samma sort", och helt enkelt skriva

   $\langle 9,12\rangle=\{9n+12m:n,m\in\mathbb{Z}\}\,.$

Du är en hjälte! Tack!!