Linjär algebra: generell formulering av Riesz representationssats

Bump

Satsen i tråden berör endast ett vektorrum V med ändlig dimension.

Du vet redan att V och V* är isomorfa om V har ändlig dimension.

Om du har en inre produkt • på V så inducerar den en isomorfi $b$ från V till V*.

$b$: V $\to$ V*, $\overrightarrow{x}\mapsto$$b\overrightarrow{x}$, ($b\overrightarrow{x}$)($\overrightarrow{y}$) = $\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$.

$b$ är injektiv (visa det) och därför även surjektiv då V har ändlig dimension.

Sedan kan du införa en inre produkt $\odot$ på V* enligt

$\alpha \odot \omega =b^{-1}\left(\alpha \right)\bullet b^{-1}\left(\omega \right)$.

Låt $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle)$ vara ett Hilbertrum över $\mathbb{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$, och låt $\Vert\cdot\Vert\colon H\to \mathbb{R}_{\geqslant 0}$ vara den inducerade normen, definierad av

   $\Vert x\Vert=\langle x,x\rangle^{1/2}\,.$

Låt vidare $H^*$ vara dualrummet, definierat som mängden av alla kontinuerliga linjära fuktionaler $\ell\colon H\to\mathbb{F}$ under punktvis addition och skalning. Låt $\Vert\cdot\Vert_*\colon H^*\to\mathbb{R}_{\geqslant 0}$ vara den inducerade operatornormen, definierad av

   $\displaystyle{\Vert\ell\Vert_*}=\sup_{x\in H\setminus\{0\}}\frac{|\ell(x)|}{\Vert x\Vert}\,.$

Under förutsättningarna ovan säger Riesz representationssats följande två saker:

• Varje funktional $\ell\in H^*$ kan representeras av ett unikt element $y\in H$, i bemärkelsen att  $\ell(x)=\langle x,y\rangle$ för alla $x\in H$.
• Detta ger upphov till en avbildning $\mathrm{\Phi}\colon H^*\to H$ som tar varje funktional $\ell$ till sin representant. Denna avbildning är injektiv, surjektiv, antilinjär och isometrisk.

Med "isometrisk" menar man att $\Vert{\ell}\Vert_*=\Vert\mathrm{\Phi}(\ell)\Vert$, dvs. att operatornormen för funktionalen är samma som normen för dess representant.

Vad är det som inducerar operatornormen?

över 𝔽∈{ℝ,ℂ}, 

Elegant sätt att skriva haha.

Så meningen jag klippte ut från Wiki är inte hela statsen? Jag trodde alltså att det enda satsen sa var att rummen var isometriskt isomorfta.

Vad är det som inducerar operatornormen?

Den induceras av normen $\Vert\cdot\Vert$ på $H$, som i sin tur induceras av den inre produkten $\langle\cdot,\cdot\rangle$ på $H$.

Generellt gäller följande: Om du har ett normerat vektorrum $(X,\Vert\cdot\Vert)$ så kan du alltid utrusta dualrummet $X^*$ med operatornormen $\Vert\cdot\Vert_*\colon X\to\mathbb{R}_{\geqslant 0}$ definierad av

   $\,{\Vert \ell \Vert_*}=\displaystyle\sup_{x\in X\setminus\{0\}} \frac{|\ell(x)|}{\Vert x\Vert}\,.$

Så meningen jag klippte ut från Wiki är inte hela statsen? Jag trodde alltså att det enda satsen sa var att de var isometriskt isomorfta.

Det korrekta om man vill att satsen ska gälla över $\mathbb{C}$ är att säga att de är isometriskt anti-isomorfa (vilket är samma sak som injektiv, surjektiv, anti-linjär och isometrisk). Över $\mathbb{R}$ kan man skippa "anti".

Hur ska jag börja plugga grupper och ringar när linjär algebra är så kul? Tur att boken jag köpte skickas om 7-10 vardagar (vet inte hur lång tid fraken tar).

Men... Jag kan bifoga en bild på vad isometri definierades som i boken jag läste (advanced linear algebra Roman):

Bild från bok

edit: jag måste tänka

Det här är lite stökigt...

Att en funktion är isometrisk betyder att den respekterar någon slags geometrisk struktur, vilket kan betyda olika saker beroende på sammanhanget:

• En funktion $f:(X,d_X)\to (Y,d_Y)$ mellan metriska rum sägs vara isometrisk om $d_Y(f(x),f(y))=d_X(x,y)$ för alla $x,y\in X$.
• En funktion $f:(X,\Vert\cdot\Vert_X)\to (Y,\Vert\cdot\Vert_Y)$ mellan normerade vektorrum sägs vara isometrisk om $\Vert f(x)\Vert_Y=\Vert x\Vert_X$ för alla $x\in X$.
• En funktion $f:(X,\langle\cdot,\cdot\rangle_X)\to (Y,\langle\cdot,\cdot\rangle_Y)$ mellan inre produktrum sägs vara isometrisk om $\langle f(x),f(y)\rangle_Y=\langle x,y\rangle_X$ för alla $x,y\in X$.

Lyckligtvis leder detta sällan till speciellt mycket besvär. Om båda rummen som är inblandade i funktionen har en inre produkt som respekteras, så kommer de även att ha inducerade normer som respekteras, vilket i sin tur leder till inducerade metriker som respekteras.

Så vad menar vi då, när vi i Riesz representationssats säger att avbildningen $\mathrm{\Phi}\colon H^*\to H$ är isometrisk? Det finns egentligen två sätt att tolka det:

• Det ena (och imo rimligaste) är att betraka $\Phi\colon H^*\to H$ som en avbildning mellan normerade vektorrum. Normen på $H$ är $\Vert\cdot\Vert$ inducerad från $\langle\cdot,\cdot\rangle$, och normen på $H^*$ är operatornormen $\Vert\cdot\Vert_*$ inducerad från $\Vert\cdot\Vert$. Det är så jag tolkar det i mitt inlägg här ovan.
• Det andra är att betrakta $\mathrm{\Phi}\colon H^*\to H$ som en avbildning mellan inre produktrum - men då måste vi hålla tungan rätt i mun! För a aprio har vi inget sjävklart val av inre produkt på $H^*$. (Har man en inre produkt på ett rum finns det inget uppenbart sätt att använda den för att "inducera" en inre produkt på dualrummet.) Men eftersom vi redan vet (från resten av Riesz representationssats) att $\mathrm{\Phi}$ är en bijektion, så kan vi "transporera" den inre produkt-strukturen över till $H^*$ och helt enkelt införa $\langle \ell,\varphi\rangle_*=\langle\mathrm{\Phi}(\ell),\mathrm{\Phi}(\varphi)\rangle$, så som föreslogs tidigare i tråden. Då blir $\Phi$ automatiskt per definition en isometri... men det skulle väl knappast vara värt att kalla en sats! ;)

oggih skrev:

För a aprio har vi inget sjävklart val av inre produkt på $H^*$. (Har man en inre produkt på ett rum finns det inget uppenbart sätt att använda den för att "inducera" en inre produkt på dualrummet.)

Ja...

• Då blir $\Phi$ automatiskt per definition en isometri... men det skulle väl knappast vara värt att kalla en sats! ;)

Ja...

Sidenote

Vad som däremot är intressant är huruvida den här "övertransporterade" inre produkten $\langle\cdot,\cdot\rangle_*$ är kompatibel med operatornormen $\Vert\cdot\Vert_*$, i bemärkelsen att den norm som $\langle\cdot,\cdot\rangle_*$ inducerar verkligen är $\Vert\cdot\Vert_*$.

Med andra ord: Gäller det att $\langle \ell,\ell\rangle_*^{1/2}=\Vert \ell\Vert_*$ för alla $\ell\in H^*$?

Svaret är ja:

   $\langle \ell,\ell\rangle_*^{1/2}=\langle \mathrm{\Phi}(\ell),\mathrm{\Phi}(\ell)\rangle^{1/2}=\Vert \mathrm{\Phi}(\ell)\Vert=\Vert\ell\Vert_*\,,$

där den sista likheten följer av den gängse tolkningen av Riesz representationssats.

Mmmm

Det var väl inte så stökigt? Vad var stökigt? Att isometri kan betyda olika saker?

Qetsiyah skrev:

Det var väl inte så stökigt? Vad var stökigt? Att isometri kan betyda olika saker?

Dels det, och dels att det finns så många lager av strukturer när man pratar om Hilbert-rum: en inre-produkt, som inducerar en norm, som inducerar en metrik, som inducerar en topologi - och det gäller att man är på det klara med vilken struktur det är man pratar om :D Men visst, det finns stökigare saker man kan råka ut för.

Just det, på tal om att "inducera" använde läraren det ordet på ett konstigt sätt.

Han sa att * operationen i en undergrupp induceras av den som redan finns i gruppen. Men vadå, den måste ju vara samma, vore konstigt om den inte var det. Inducering i som vi pratar om i linjär algebra sammanhang är ju annorlunda... Typ

Ordet "inducera" används ganska löst i matematiken när en viss struktur ger upphov till en annan struktur, så det din lärare sa är helt inom ramarna för hur ordet brukar användas.

Till exempel kan man säga följande:

En undergrupp av en grupp $(G,\star)$ är en icke-tom delmängd $H\subseteq G$ som är sluten under både gruppoperationen och inversen. Varje sådan undergrupp $H$ är själv en grupp under restriktionen av $\star$ till $H\times H$, och det kan man uttrycka som att $G$ inducerar en gruppoperation på $H$ (eller att $H$ "ärver" sin gruppoperation av $G$).

Känns bara väldigt självklart att ett underrum till nåt ska ha samma operation. Inducera måste man göra med lite finess. Ja, äsch, spelar ingen roll!