Geometrisk serie mot oändligheten

Hej, 

jag ska bestämma för vilka x serien $\sum _{k=1}^{\infty }{x}^k$ är konvergent, samt beräkna seriens summa för dessa x. 

Jag ställde upp såhär:

$$\begin{gathered} \sum _{k=1}^{\infty }{x}^k=lim n\to \infty \sum _{k=0}^{n-1}{x}^k-1=lim n\to \infty \frac{x^{n-1+1}-1}{x-1}-1 \\ lim n\to \infty \frac{x^n-1}{x-1}-1 \end{gathered}$$

Tänkte sedan att då -1<x<1 kommer serien vara konvergent. Ser dock på lösningsförslaget att jag ställt upp bråket fel, där de istället får x^n+1. Varför subtraherar de inte med -1 också? Beror det på att n ändå ska vara oändligt stort?