Gränsvärde av cosinus och sinus

Jag ska lösa följande gränsvärde: $\lim_{x \to 0} \frac{\cos (ρ + 2 x) - 2 \cos (ρ + x) + \cos (ρ)}{x^{2}}, (ρ \in ℝ)$

Jag har försökt utveckla med hjälp av additionsformlerna för cos- och sinus till: $\lim_{x \to 0} \frac{\cos (ρ) \cos (2 x) - \sin (ρ) \sin (2 x) - 2 (\cos (ρ) \cos (x) - \sin (ρ) \sin (x)) + \cos (ρ)}{x^{2}}$

Sen försökte jag utveckla vidare med formeln för dubbla vinkeln för sinus: $\lim_{x \to 0} \frac{\cos (ρ) \cos (2 x) - 2 \sin (ρ) \sin (x) \cos (x) - 2 (\cos (ρ) \cos (x) - \sin (ρ) \sin (x)) + \cos (ρ)}{x^{2}}$

Men detta verkar väldigt jobbigt att hantera. Finns det något annat sätt att hantera detta? Mitt mål var att försöka tillämpa standardgränsvärdet $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1$ .

Hejhej,

Ser ju nu i efterhand att du antagligen har tagit examen vid det här laget... men såhär tänkte jag. Jag brukar alltid dela upp långa uttryck, så att jag inte hanterar en lång soppa på en gång. Här har jag delat upp till cos(p+2x) som egen och -2cos(p+x) som egen, förenklat de var för sig så långt jag kunde och sen slagit ihop det. Jag har använt additionsformlerna för cos och sin samt trigonometriska ettan. Ett trick jag har använt är att tänka på vad cos(x+x) och sin(x+x) blir.

Slutligen hamnade jag på att använda mig av standardgränsvärdet (1-cosx)/x^2 = 1/2 då x går mot 0.Hoppas kursen gick bra!

Som så ofta så kan utnyttjande av komplexa tal leda till förenklingar.

$\frac{\cos (ρ + 2 x) - 2 \cos (ρ + x) + \cos (ρ)}{x^{2}} = R e (\frac{e^{i ρ} (e^{i 2 x} - 2 e^{i x} + 1)}{x^{2}}) =$
$R e (\frac{e^{i ρ} (1 + 2 i x - 2 x^{2} - 2 (1 + i x - x^{2} / 2) + 1 + O (x^{3}))}{x^{2}}) = R e (e^{i ρ} (- 1 + O (x))) \to R e (- e^{i ρ}) = - \cos (ρ), d å x \to 0 .$

Oj, jag glömde helt bort denna inlägg. Men tack för era fina svar!

Svara

Visa senaste svar