7 svar
144 visningar
Micimacko 4088
Postad: 29 dec 2018 10:15

Gren till log z

Varför gör man inte så som står i sista bilden? Vad kan gå fel om man gör så? Jag fattar inte riktigt vad målet är här tror jag. Vad vill man åt för att svaret ska vara rätt?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 29 dec 2018 10:32

Det står ju tidigare i stycket.

Micimacko 4088
Postad: 29 dec 2018 10:47

Så är poängen att man aldrig ska få samma svar? Eller va? Vad är det egentligen som ska bestämmas? Jag trodde att man bara får välja siffra på n för att få den perioden man vill ha. 🙄

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 29 dec 2018 11:18 Redigerad: 29 dec 2018 11:51

Poängen är att det inte ger samma resultat om man väljer gren till log(z2+2z)\log(z^2+2z) som om man först väljer gren till logw\log w  en delmängd av CC och sedan sätter w=z2+3zw=z^2+3z.

Om jag tolkar uppgiften rätt, så är det inte alla grenar som ger det önskade värdet på f(-1)f(-1). Det är möjligt att det står något intressant i den del av exemplet som du inte har tagit med.

Micimacko 4088
Postad: 29 dec 2018 11:31

Det är två olika exempel. Frågan är vad målet är. Tex om jag har en ekvation är målet att hitta en siffra jag kan stoppa in så stämmer det. Det måste ju finnas ngn slags poäng med det man gör. Men jag hittar ingenstans vilka krav som ska vara uppfyllda för att svaret ska vara rätt. 

Micimacko 4088
Postad: 29 dec 2018 11:36

Såhär ser resten ut. 

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 29 dec 2018 12:15

Det var en väldigt väsentlig skillnad! Det hade jag inte kunnat gissa. I det andra exemplet är definitionsmängden annorlunda. Poängen i mitt första stycke kvarstår, men min tolkning i andra stycket var felaktig p g a bristande informetion.

Jag håller med om att uppgiften inte är tillräckligt tydligt formulerad. Uppgiftskonstruktören visste förmodligen fullständigt vad han eller hon ville ha fram, men det räcer inte till!

Funktionen log(z2+3z)\log(z^2+3z) ger flera värden i varje punkt, och de båda grenar man har konstruerat i exempel 2.11 respektive 2.12 ger ett värde var i varje punkt. I det övre halvplanet för de samma värden, men i det undre halvplanet ger de olika.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 29 dec 2018 22:33 Redigerad: 29 dec 2018 22:37

Hej!

Om zz är ett komplext tal så är begreppet komplex logaritm (log(z)log(z)) ett komplext tal som är sådant att

    elog(z)=z.e^{log(z)} = z.

Det finns oändligt många sådana komplexa logaritmer, eftersom för varje heltal nn gäller det att ei2πn=1e^{i2\pi n} = 1 och den komplexa exponentialfunktionen weww \mapsto e^{w} uppfyller regeln ew1+w2=ew1·ew2e^{w_1+w_2} = e^{w_1} \cdot e^{w_2} vilket ger

    elog(z)=elog(z)·1=elog(z)·ei2πn=elog(z)+i2πn.e^{log(z)} = e^{log(z)} \cdot 1 = e^{log(z)}\cdot e^{i2\pi n} = e^{log(z) + i2\pi n}.

När man pratar om komplex logaritm log(z)log(z) så menar man en mängd av komplexa tal, och inte ett enskilt komplext tal.

  • Om zz är angiven på polär form som z=|z|eiθz = |z|e^{i\theta} för något reellt tal θ\theta, så är komplex logaritm log(z)log(z) samma sak som mängden

        log(z)={w:w=ln|z|+iθ+i2πn ,  n}log(z) = \{w\in\mathbb{C}: w = \ln|z| + i\theta + i2\pi n \ , \quad n \in \mathbb{Z}\}.

För ett givet komplext tal zz ligger de motsvarande komplexa talen ww på en lodrät linje som är parallell med imaginär-axeln och går genom punkten (ln|z|,0)(\ln|z|,0)

  • Om 0<|z|<10<><> (komplexa talet zz ligger inuti enhetscirkeln) så ligger den lodräta linjen i det vänstra halvplanet och
  • om |z|>1|z|>1 (komplexa talet zz ligger utanför enhetscirkeln) så ligger den lodräta linjen i det högra halvplanet och
  • om |z|=1|z| = 1 (komplexa talet zz ligger enhetscirkeln) så ligger den lodräta linjen imaginär-axeln.
Svara
Close