Gruppteori: symmetri på kuber

En symmetri på kuben inducerar väl en permutation av L1,L2,L3? Antar att det är så de menar men lite oklart är det definitivt.

Säg att du roterar kuben 90 grader runt en axel, då inducerar en transposition på L1,L2,L3 medan en 180 graders rotation ger identiteten på L1,L2,L3. 

Smutsmunnen skrev:

En symmetri på kuben inducerar väl en permutation av L1,L2,L3?

Ja...

Säg att du roterar kuben 90 grader runt en axel, då inducerar en transposition på L1,L2,L3 medan en 180 graders rotation ger identiteten på L1,L2,L3. 

Ja...

Så $g(L_i)$ kanske betyder en symmetri på kuben som inte permuterar axeln $L_i$?

Nja det var inte så jag tänkte i alla fall.

Alltså säg att vi har en tärning, att L1 går mellan 1 och 6 att L2 går mellan 2 och 5 och att L3 går mellan 3 och 4.

Säg att vi nu roterar tärningen 90 grader så att 1 och 6 är fixa medan 2->3->5->4.  Då avbildas samtidigt L2 på L3 och L3 på L2. Så om g är det element i G som motsvarar den rotationen så g(L1)=L1, g(L2)=L3 och g(L3)=L2. Så att g(Li) definierar ett element i Sx.

Åh, så menar du, ja det låter rimligare. Då är $\varphi$ inte injektiv?

Nä G är väl större än Sx så injektiv är phi förstås inte.

$S_X$ är väl i detta fall bara $S_3$ i förklädnad? (Isomorfa)

Jag Sx och S3 är isomorfa, det vill säga samma grupp, i förklädnad om du så vill men i princip samma grupp.

Jag hittade denna hemsida: https://garsia.math.yorku.ca/~zabrocki/math4160w03/cubesyms/

Enligt den finns alltså, utom identiteten i G, tre andra symmetrier som mappas på identiteten i H? Nämligen att rotera 180 grader kring någon av de tre axlarna?

Qetsiyah skrev:

Jag hittade denna hemsida: https://garsia.math.yorku.ca/~zabrocki/math4160w03/cubesyms/

Enligt den finns alltså, utom identiteten i G, tre andra symmetrier som mappas på identiteten i H? Nämligen att rotera 180 grader kring någon av de tre axlarna?

 Du har väl rotationer längs rymddiagonalerna också? Och ganska många spegleplan.

Qetsiyah skrev:

Jag hittade denna hemsida: https://garsia.math.yorku.ca/~zabrocki/math4160w03/cubesyms/

Enligt den finns alltså, utom identiteten i G, tre andra symmetrier som mappas på identiteten i H? Nämligen att rotera 180 grader kring någon av de tre axlarna?

Ja det är väl la de som mappas på identiteten.

Okej vad bra men jag vill börja om, jag är lite förvirrad. Efter tillräckligt många rotationer kring samma axel (spelar ingen roll vilken av de som visas på hemsidan) så får man väl tillbaka samma kub? Varför räknas inte dessa? (Som smaragdalena säger)

Smaragdalena: spegling tillåts inte!

Det låter som att du är lite förvirrad.

Säg att g mappas på sigma. 

Att vi "efter tillräckligt många " g, säg k gånger, kommer tillbaka tillbaka till samma kub innebär sigma^k = id, inte sigma=id.

Nej, glöm $S_X$ helt, jag undrar bara om G. Låt g vara en symmetri i G på kuben och låt k vara det minsta heltalet sådan att $g^k=id$. Är då bara $g^i$ för i=1,2...k-1 element i G? Resten är så att säga inte unika.

Eller är $g^i$ element i G upp till i=k?

Jag tror inte jag förstår.

Ja alltså g^k=id, g^k+1=g osv.

Detta gäller i alla ändliga grupper, inte bara iden här. 

Dvs i alla ändliga grupper G finns för varje element g ett positivt heltal k sådant att g^k=id och då är naturligtvis (pga) associativiteten g^k+1=g osv. Man brukar säga att den delgrupp som genereras av g^i är cyklisk.

Det jag frågar är vad för element som G egentligen består av. Är $g^i$, i≥k element i G eller inte? Om de är det så är de uppenbarligen inte unika.

I mitt inlägg ovan skrev jag att "utom identiteten finns tre andra symmetrier som mappas på identiteten i H...", men dessa tre är i själva verket lika med identiteten...

Qetsiyah skrev:

Det jag frågar är vad för element som G egentligen består av. Är $g^i$, i≥k element i G eller inte? Om de är det så är de uppenbarligen inte unika.

I mitt inlägg ovan skrev jag att "utom identiteten finns tre andra symmetrier som mappas på identiteten i H...", men dessa tre är i själva verket lika med identiteten...

Dessa tre andra symmetrier som mappas på identiteten är inte identiteten i G. Att rotera en kub 180 grader ger inte identiteten.

I en vidare mening så har ju G 24 element: men det finns oändligt många "ord" g1*g2*g3.... vilket innebär att många sådana ord refererar till samma element i G. Vilket inte är konstigare än att 5 kan skrivas 5,2+3,3+2, 1+1+1+1+1 osv.

Just det, hörnen kommer inte till rätt ställen. (och två av axlarna hamnar bakochfram).

Ja, men ingen av de 24 symmetrierna är lika med varandra? De är alltså unika

En kub har sammanlagt 48 symmetrielement.

Vill du bara ha de 24 som inte innebär spegling? Alla 24 är olika.

Du har ju noterat att Sx är S3, har du noterat att G är S4?

Kanske är det själva ordet symmetri som förvirrar dig? Det är ett svårfångat begrepp som används lite löst på delvis olika sätt i olika sammanhang, men i det här fallet skulle jag använda följande tolkning.

Definition. Låt $M\subseteq\mathbb{R}^3$ vara en mängd punkter i rummet. En symmetri (eller symmetrioperation) på $M$ är då en bijektion $g\colon M\to M$ sådan att alla avstånd bevaras, dvs. $\Vert g(\mathbf{x})-g(\mathbf{y})\Vert=\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert$ för alla $\mathbf{x},\mathbf{y}\in M$.

Mängden av alla sådana symmetrioperationer kallas för symmetrigruppen för $M$ (och bildar, som namnet antyder, en grupp med funktionssammansättning som gruppoperation).

I det här fallet kan vi tänka oss att $M$ är den vanliga enhetskuben, dvs.

   $M=[-1,1]^3 =\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\max(|x|,|y|,|z|)\leqslant 1\}\,.$

Ett exempel på en symmetrioperation på enhetskuben skulle kunna vara "rotation med 90 grader moturs runt $z$-axeln", dvs. funktionen $g\colon M\to M$ som ges av multiplikation med matrisen

   $\begin{pmatrix}0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\,.$

Det är ganska enkelt att övertyga sig om att alla symmetrioperationer på enhetskuben kommer bestå av reflektioner och rotationer av olika slag, och kan därmed representeras av ortogonala $3\times 3$-matriser. (Så om vi vill skulle vi kunna betrakta $G$ som en ändlig delgrupp till ortogonala gruppen $\mathbf{O}(3)$, men för våra syften tror jag det är bättre att hålla fast vid att symmetrioperationer är funktioner $g\colon M\to M$.)

När vi ändå är igång borde vi kanske säga något om begreppet permutation. Det är enkelt:

Definition. En permutation på en mängd $X$ är en bijektion $\sigma\colon X\to X$.

I det här fallet har vi $X=\{L_1,L_2,L_3\}$. Vill vi vara riktigt och konkreta (och om vi fortsätter att föreställa oss att kuben de pratar om i uppgiften är just enhetskuben), så motsvarar $L_1$, $L_2$ och $L_3$ koordinataxlarna i $\mathbb{R}^3$, dvs.

   $L_1=\{(x,0,0):\in\mathbb{R}^3:-1\leqslant x\leqslant 1\}\,,$
   $L_2=\{(0,y,0):\in\mathbb{R}^3:-1\leqslant y\leqslant 1\}\,,$
   $L_3=\{(0,0,z):\in\mathbb{R}^3:-1\leqslant z\leqslant 1\}\,.$

Det är enkelt att se att varje symmetrioperation $g\colon M\to M$ på enhetskuben kommer mappa punkterna på en sådan här linje till antingen samma eller en annan av de tre linjerna.

Om vi låter $g\colon M\to M$ fortsätta att vara rotation runt $z$-axeln med 90 grader medurs, så kommer det till exempel punkterna på $$L_$$ att mappas till punkterna på $L_2$, vilket vi kan skriva som att $g(L_1)=L_2$. Vidare gäller att $g(L_2)=L_1$ och $g(L_3)=L_3$. (Se separat inlägg om den här notationen.)

Vi kan uttrycka det som att varje symmetrioperation $g\colon M\to M$ ger upphop till en avbildning $\sigma_g\colon X\to X$ definierad av $\sigma_g(L_i)=g(L_i)$. Det är enkelt att se att den här avbildningen $\sigma_g\colon X\to X$ kommer vara en bijektion, eller med andra ord: en permutation på mängden $X$.

Varning: Notera att $g$ och $\sigma_g$ är två helt olika funktioner. Funktionen $g$ har punkter i enhetskuben $M$ som input/output, medan funktionen $\sigma_g$ har linjer i mängden $X$ som input/output.

Övning:  Välj ett annat element $g\in G$, och fundera ut vad $g$ gör med de olika linjerna. Eller ännu bättre: gör en tabell över alla de 48 stycken elementen i $G$, där du beskriver vad de gör med de olika linjerna.

Detta ger dig en konkret beskrivning av funktionen $\varphi\colon G\to S_X,\:g\mapsto g_\sigma$.

(Du kommer nog snabbt börja se lite mönster, vilket gör att det inte blir så mycket jobb som man först kanske tror.)

En kort anmärkning om notation:

Egentligen är det formellt lite förvirrande att skriva $g(L_1)=L_2$. Avbildningen $g$ tar ju som sagt egentligen punkter som input/output, men här stoppar vi in en hel mängd av punkter, och får ut en mängd punkter.

Dock är denna form av "abuse of notation" väldigt standard. Genrellt gäller att om $f\colon X\to Y$ är en avbilning och $A\subseteq X$ är en delmängd av definitionenmängden, så skriver vi $f(A)=\{f(a):a\in A\}$. För att inte förvirra folk i början av sin utbildning finns det en del som tycker att man borde använda en annan notation för bilden av en hel delmängd $A\subseteq X$ av definitionsmängden, t.ex. $f[A]$.

I fallet med linjerna skulle det motsvara att skriva att avbildningen $\sigma_g\colon X\to X$ är definierad av $\sigma_g(L_i)=g[L_i]$.

Ja, jag inser nu att jag var ganska förvirrad över det begreppet men använde det hela tiden ändå. Som jag sa presenteras grejer kursen inte särskilt rigoröst (jag minns nu tillbaka till den andra eller tredje lektionen då nån frågade vad en symmetri faktiskt är, och då kunde läraren ha berättat det du skrev men istället blev det nån handway grej. Det är en fin balans att inte skrämma iväg folk från en frivillig kurs och att presentera saker formellt (torrt)). 

Men ok då förstår jag. 

En tabell? Vad ska vara i raden och kolumnen?

Något i stil med detta (fast kanske med färre ord, för annars blir det jobbigt med 48 rader): 

$\begin{array}{lccc}\\\hline\text{Element $g\in G$}&\sigma_g(L_1)&\sigma_g(L_2)&\sigma_g(L_3)\\\hline\text{Identitsoperationen}&L_1&L_2&L_3\\\text{Rotation $90^\circ$ runt $z$-axeln}&L_2 & L_1 & L_3\\\text{Rotation $180^\circ$ runt $z$-axeln}& \cdots\end{array}$

Okej... Men jag har svårt att visualisera rotation kring de andra axlarna som inte är koordinataxlarna. Alltså den andra och tredje här (den tredje är lite enklare): https://garsia.math.yorku.ca/~zabrocki/math4160w03/cubesyms/

Men jag kan tänka på vad för mönster du vill att jag ska se.

Edit: Inom dessa tre typer finns inget intressant att säga. Rotation kring en koordinataxel fixerar en av axlarna. Rotation kring en rymddiagonal permuterar axlarna så att ingen är fix. Rotation av den andra typen fixerar också en av axlarna.

Mappningen $g \mapsto \sigma_g$ är inte injektiv, men surjektiv.

Okej... Men jag har svårt att visualisera rotation kring de andra axlarna som inte är koordinataxlarna. Alltså den andra och tredje här (den tredje är lite enklare): https://garsia.math.yorku.ca/~zabrocki/math4160w03/cubesyms/

Mjo, bara att göra en lita över alla element i $G$ är lite av en utmaning. Och visst, för vissa av symmetrioperationerna kan det vara lite klurigt att se vad som händer med $L_1$, $L_2$ och $L_3$. (Men gör du alla 48 kommer du nog bli bra på det till slut! ;) )

Mappningen $g\mapsto\sigma_g$ är inte injektiv.

Precis! (Det skulle man redan kunna se genom att jämföra antalet element i $G$ och $S_X$.) Detta är i sin tur ekvvialent med att $\ker(\varphi)$ inte är triviell. Men vad är den mer exakt...? 

...men surjektiv.

Vad har du för argument?

oggih skrev:

Vad har du för argument?

:

oggih skrev:

Det skulle man redan kunna se genom att jämföra antalet element i $G$ och $S_X$

Haha

Edit: nu går jag och äter, men det tar inte mer än två timmar ;)

Du menar att en grupphomomorfi $\varphi\colon G\to H$ alltid är surjektiv om $|G|\geqslant|H|$? Riktigt så enkelt är det inte! Till exempel skulle vi kunna låta $\varphi$ mappa alla element i $G$ till identitetselementet i $H$.

Det var på skämt men om vi vet att mappningen är injektiv med bara en bit information: att definitionsmängden är större, så måste det innebära att mappningen är surjektiv. Typ?

Vad har du för argument?

Jag har inget formellt argument, jag vet inte hur jag ska formalisera saker i det här sammanhanget, jag är inte så van.

Angående listan så menar jag att jag inte kan överhuvudtaget, det blir bara mos i hjärnan så fort jag försöker, och jag har inte hittat nån bra online animerare.

Eftersom Smutsmannen sa att G=S₄ så tittade jag på wikipedia. Det står:

The group S₄ is isomorphic to the group of proper rotations about opposite faces, opposite diagonals and opposite edges, 9, 8 and 6 permutations, of the cube.[5]

(9+8+6=23 men de nämnde inte id)

Men vad har 4 med kuben att göra? Vad har kuben 4 av?

Det finns en tabell här. Varför behövs 4x4 matriser för att beskriva alla symmetrier? Är det en vanlig linjär algebra matris?

Vilka symmetrioperationer tycker du är svåra att föreställa dig? Ser du exempelvis vad operationen $g\colon M\to M$ som utgörs av "rotation moturs med 120° runt linjen $(-t,t,t)$, $t\in\mathbb{R}$" gör med $L_1$, $L_2$ och $L_3$? Ett tips kan vara att använda ett konkret kubformat föremål, t.ex. en tärning eller rubriks kub och försöka föreställa dig olika rotationsaxlar och spegelplan. 

Av de på hemsidan jag länkade till är den andra typen särskilt svår, den tredje tycker jag är ok nu. Den första typen är såklart enkel att föreställa.

Jag har en box, men jag vill ha en genomskinlig/ihålig kvadratisk sak så att jag kan se alla kanter samtidigt, men jag kan inte hitta nån sån...

Vi har gått igenom det där!

Jag tycker inte att det tillför så mycket att blanda in $S_4$ och $4\times 4$-matriser här, så jag föreslår att vi ignorerar den kopplingen tills vidare. (Men vi kan återkomma till det senare om du vill.)

Däremot finns det helt klart en poäng med att tänka i termer av matriser, och det möjliggör faktiskt en "algebraisk genväg" till den här uppgiften! (Dock tror jag det är nyttigt att träna på detta, så träna gärna på att översätta mellan konkreta rotationer/reflektioner och matriser).

Alla symmetrioperationer $g\colon M\to M$ på kuben är (restriktioner av) linjära transformationer $g\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ [detta är inte uppenbart utifrån vår definition av 'symmetri', men är något vi kan återkomma till senare!].  Som du redan vet bestäms en sådan transformation helt av vart den skickar enhetsvektorerna, alltså av vad $g(\mathbf{e}_1)$, $g(\mathbf{e}_2)$och $g(\mathbf{e}_3)$ är, och den datan kan sammanfattas som en $3\times 3$-matris

   $A_g=[g(\mathbf{e}_1)\:g(\mathbf{e}_2)\:g(\mathbf{e}_3)]\,.$

Att symmetrierna bevarar avståndsfunktionen innebär att de bevarar skalärprodukten på $\mathbb{R}^3$ [återigen: inte uppenbart, men något att återkomma till snare], så matriserna $A_g$ kommer vara ortogonala. Och inte bara det - det är ganska enkelt att övertyga sig om att en linjär avbildning $g\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ ger en avståndsbevarande bijektion på enhetskuben om och endast om $A_g=[\pm \mathbf{e}_i\: \pm \mathbf{e}_j\:\pm \mathbf{e}_k]$, där $(i,j,k)$ är en permutation av indexen $(1,2,3)$, och tecknen kan väljas oberoende av varandra. Det finns $3\cdot 2\cdot 1=6$ permutationer av indexen, och $2\cdot 2\cdot 2=8$ sätt att välja tecken, så totalt $6\cdot 8=48$ möjliga symmetrioperationer på enhetskuben. Ett exempel på en sådan matris skulle kunna vara

   $A_g=[-\mathbf{e}_2\:\mathbf{e}_1\:\mathbf{e}_3]\,,$

som du kanske känner igen som rotation runt $z$-axeln med 90° medurs.

Fråga: Given en sådan här matris $A_g=[\pm \mathbf{e}_i\: \pm \mathbf{e}_j\:\pm \mathbf{e}_k]$, hur kan du direkt läsa av vad $\sigma_g$ gör med linjerna $L_1$, $L_2$ och $L_3$? (Det är enkelt.)

Här är en video som visar typ 2: https://youtu.be/-PYDcHKPMKk.

För att visa att $g\mapsto\sigma_g$ är surjektiv, så behöver du ge mig ett förklaring av hur du, givet en godtycklig permutation $\sigma\in S_X$ kan konstruera en symmetri $g\colon M\to M$ sådan att $\sigma_g=\sigma$.

Exempelvis: Om jag ger dig $\sigma=(312)$ [alltså permutationen $\sigma\colon X\to X$ med $\sigma(L_3)=L_1$, $\sigma(L_1)=L_2$ och $\sigma(L_2)=L_3$], finns det då någon symmetri $g\colon M\to M$ sådan att $\sigma_g=\sigma$? [Uttryck den gärna både med en matris och med en geometrisk beskrivning!] 

Jag har fått ont i handen av att hålla upp kryssproduktsläget (tummen, pek- och långfingret ortogonala) med handen nu, bara för att visualisera den tredje typen haha. 

Och jag kan låta bli 4x4 matriserna, men säg bara, är de vanliga matriser som i linjär algebra?

Det om att varje symmetri är en linjär transformation i R3: ja, jag insåg det.

oggih skrev:

Fråga: Given en sådan här matris $A_g=[\pm \mathbf{e}_i\: \pm \mathbf{e}_j\:\pm \mathbf{e}_k]$, hur kan du direkt läsa av vad $\sigma_g$ gör med linjerna $L_1$, $L_2$ och $L_3$? (Det är enkelt.)

Helt enkelt kolumnerna i matrisen $A_g$, basvektorerna är samma som linjerna? Nu blir jag osäker på vad du vill att jag ska säga...

Om $A_g=[\pm \mathbf{e}_i\: \pm \mathbf{e}_j\:\pm \mathbf{e}_k]$ (för några oberoende val av tecken), vad exakt kommer $\sigma_g$ att göra med $L_1$, $L_2$ respektive $L_3$?

Jaha okej de byter bara tecken, om ei representeras av L1 osv så... ingenting?

Rätt svar är att $\sigma_g(L_1)=L_i$, $\sigma_g(L_2)=L_j$ och $\sigma_g(L_3)=L_k$.

Ser du varför?

Till exempel kan du försöka visualisera

   $A_g=\begin{bmatrix}0 & -1 & 0\\1 & 0 & 0 \\0 & 0 & -1\end{bmatrix}\,.$

Försök förstå den geometriskt (vad för slags rotation/reflexion är det?) genom att titta på kolumnera.

Vart skickar den $L_1$, $L_2$ respektive $L_3$?

Ja! Inga problem, det där är så pass nära linjär algebra att det är bekvämt.

Den du skrev skickar L1 på L2 och tvärtom, L3 fix.

Snyggt!

Fundera gärna på om det är en rotation (i så fall runt vilken axel med hur många grader?), eller en reflexion (i så fall genom vilket spegelplan?).

Vad är nu ditt svar på vad kärnan är? Och hur skulle du motivera surjektiviteten?

^{Edit: Rättade stavfelet i 'surjektiviteten'.}

Kärnan är alla $A_g$ som kan skrivas som just $[\pm e_i...]$, det blir $2^3=8$ st.

J*r vad jag blir bekväm med matriser här, mycket bättre än pappersboxar eller fantasiförmågan.

(Den här uppgiften skickade jag redan in och fick godkänt, konstigt... den var väldgit handwavy)

Du menar surjektiviteten? Med matrisrepresentation blir det alldeles uppenbart att varje perm. av X motsvaras av en linjär avbildning, det är bara att byta enhetsvektorerna i matrisen så som man önskar att $L_i$ hamnar(plus och minustecknerna spelar ingen roll, och det är de som orsakar injektivitet)

Snyggt!

Gällande kärnan så vore det kanske tydligare att skriva att $\ker(\varphi)=\{[\pm\mathbf{e}_1\:\pm\mathbf{e}_2\:\pm\mathbf{e}_3]\}$ (och nämna att tecknen kan väljas oberoende av varandra).

Och ja, du verkar fatta surjektiviteten (har rättat felstavningen i förra inlägget)!

Man skulle kanske kunna formulera det så här:

Om vi identifierar $S_X$ med $S_3$ på det uppenbara sättet (genom att sätta $L_1\leftrightarrow 1$, $L_2\leftrightarrow 2$ och $L_3\leftrightarrow 3$), så kan vi för varje $\sigma\in S_X$ [betraktad som en bijektion $\{1,2,3\}\to\{1,2,3\}$] bilda matrisen $A=[\mathbf{e}_{\sigma(1)}\:\mathbf{e}_{\sigma(2)}\:\mathbf{e}_{\sigma(3)}]$. Om $g\colon M\to M$ är den motsvarande symmetrin på enhetskuben, så kommer det gälla att $\sigma_g=\sigma$. 

(Men när du säger "orsakar injektiviteten" menar du väl orsakar "icke-injekvitieten"?)

oggih skrev:

Snyggt!

Gällande kärnan så vore det kanske tydligare att skriva att $\ker(\varphi)=\{[\pm\mathbf{e}_1\:\pm\mathbf{e}_2\:\pm\mathbf{e}_3]\}$ (och nämna att tecknen kan väljas oberoende av varandra)

Just det ja, det var det jag menade med $2^3=8$.

(Men när du säger "orsakar injektiviteten" menar du väl orsakar "icke-injekvitieten"?)

Åh ja såklart!

Det känns som att jag bara kastar ut intutiva påståenden (som oftsat är rätt). Hursomhelst så går något inte ihop. Om det för varje val av index i basvektorerna i matrisen finns åtta val av tecken, och vi vet att S_4 innehåller 24 element, så ska det bara finnas tre sätt att bestämma indexen. Några konfigurationer av index och tecken måste vara ekvivalenta.

Gruppen av alla symmetrioperationer på kuben innehåller 48 stycken symmetrier. Hälften av dessa symmetrioperationer är rotationer, andra hälften är reflexioner*. Rotationerna bildar en delgrupp med 24 element, och det är denna delgrupp som visar sig vara isomorf med $S_4$.

Hur vet jag att precis hälften av symmetrioperationerna (alltså 24 stycken) är rotationer? Jo, det gäller som du kanske lärde dig i linalgen att en ortogonal matris motsvarar en rotation om och endast om den har determinanten 1. Så vill vi bara ha rotationerna kan vi inte välja tecknen i $[\pm\mathbf{e}_i\:\pm\mathbf{e}_j\:\pm\mathbf{e}_k]$ hur som helst! Om vi vill kan vi tänka oss att vi väljer de första två tecknen fritt, och sedan väljer det tredje tecknet så att matrisen som helhet får determinanten +1 (i stället för -1). Det ger oss $6\cdot 2\cdot 2=24$ valmöjligheter!

^{* Observera att jag i den här tråden lite slarvigt har inkluderat även "rotorflexioner" i reflexionsbegreppet. En rotorflexion som är en reflexion genom ett spegelplan kombinerat med en rotation.} 

Åh! Och nej, det har jag inte lärt mig.

Har gruppen med 48 element ett namn?

En del kallar symmetrgruppen för en kub för $O_h$ (där O:et nog kommer från att den är isomorf med symmetrigruppen för en oktaeder, men jag är osäker på vad h:et står för). Den är även isomorf med $S_4\times C_2$ (där $C_2$ är den cykliska gruppen av ordning 2), och det är nog så jag skulle referera till den på ett abstrakt plan.

För mig, som kom in på symmetrier från kristallografi-hållet känns det helt random att kalla det kubisk symmetri och inte vilja ta med de symmetrielement som beror på speglingar. Kiral kubisk symmetri existerar också och den symmetrigruppen betecknas $O$. Läs om point groups på engelska Wikipedia, det är säkert en hel del där som jag inte fattar men som du begriper!

Om man kombinerar symmetrigrupperna med olika sorters translationer blir det ännu roligare - i 3 dimensioner har man 230 olika rymdgrupper, och i 2 dimensioner har man 17 olika plangrupper. Konstnären Escher har gjort en underbar bok tillsammans med en matematiker som jag glömt namnet på där han illustrerar alla plangrupperna. Escher hade kommit fram till nästan alla plangrupperna på egen hand, jag rtror att det var en han hade missat så att han behävde göra en bild speciellt för denna bok.

Punktgrupper och rymdgrupper var en av anledningarna till att jag började plugga matematik! Väldigt spännande saker. Ska kolla upp den här boken med Eschers bilder!

Har du koll på varför man använde indexet $h$ för att skilja den fulla symmetrigruppen för en kub (alltså gruppen $O_h\cong G\cong S_4\times C_2$) från delgruppen av rotationer (alltså gruppen $O\cong S_4$)?

Edit: Förklaringen verkar vara att $O_h$ genereras av elementen i $O$ ihop med ett antal horisontella spegelplan! 

Det kanske är fler än jag som tycker att den här sidan och framför allt de tre rit-sidorna som det länkas till är jättekul?

Jag satte symmetrin till p6m och ritade det här blom-mönstret

och när jag ändrade symmetrin till pm blev det sköldpaddor:

Qetsiyah skrev:

Eftersom Smutsmannen sa att G=S₄ så tittade jag på wikipedia. Det står:

The group S₄ is isomorphic to the group of proper rotations about opposite faces, opposite diagonals and opposite edges, 9, 8 and 6 permutations, of the cube.[5]

(9+8+6=23 men de nämnde inte id)

Men vad har 4 med kuben att göra? Vad har kuben 4 av?

Det finns en tabell här. Varför behövs 4x4 matriser för att beskriva alla symmetrier? Är det en vanlig linjär algebra matris?

Kuben har 4 par av hörn.

Låter dumt men tanken är enkel. Om du tänker dig att vi parar ihop hörnen två och två, där de två hörnen i ett par  är så långt ifrån varandra som möjligt, tex 000 och 111, så får vi fyra par hörn. Tanken är att om vi vet var det ena hörnet i ett par är så vet vi var det andra är också. Alltså de två hörnen i ett par är fixa i förhållande till varandra. Så i praktiken kan vi se det som att vi roterar 4 par hörn, snarare än 8 hörn.

Men å andra sidan är varje permutation av de fyra paren möjligen att uppnå genom rotation.