Hej, jag behöver finna heltalslösningarna till ekvationen x^4 − 2^5x^2 + 9 = 0

Enklast är nog att sätta $t=x^2$ och lösa andragradsekvationen uttryckt i $t$.

Jag vet fortfarande inte riktigt hur jag ska börja. t(t-2^5)+9=0?

Om bara heltal är intressanta borde det väl räcka med att rita och se vad man borde gissa på?

Använd pq-metoden.

Står det    $x^4 - 2^5 · x^2 + 9 = x^4 - 32x^2 + 9 = 0$     ?

I så fall finns det inga heltalslösningar

Generellt sett gäller att om polynomet $p(x)$ har nollstället $x=x_0$ så är $x-x_0$ en faktor i $p(x)$ och $p(x)$ kan då faktoriseras enligt $p(x)=(x-x_0)\cdot q(x)$, där $q(x)$ är ett polynom vars gradtal är ett lägre än gradtalet hos $q(x)$.

Du kan då bestämma $q(x)$ till exempel med hjälp av polynomdivision $q(x)=\frac{p(x)}{x-x_0}$.

---------

Men denna ekvation saknar som sagt heltalslösningar, vilket tyder på att något inte stämmer. Kan du ladda upp en bild av uppgiften?

Någon har troligen skrivit fel tecken mellan 2 och 5

Så här gissar jag att talet ska skrivas:          $x^4 - 2·5x^2 + 9 = 0$

Då finns fyra heltalslösningar 

Hej, 

Tack för att ni försöker hjälpa mig. Det stämmer att det inte finns några heltalslösningar men jag har svårt att komma fram till det resultatet. 

Här är en Bild på uppgiften om det hjälper.

Ekvationen lyder $x^4-32x^2+9=0$.

Gör så här:

• Sätt $t=x^2$. Då kan ekvationen skrivas $t^2-32t+9=0$
• pq-formeln ger dig lösningarna $t=16\pm\sqrt{16^2-9}$, dvs $t_1=16-\sqrt{247}$ och $t_2=16+\sqrt{247}$
• Eftersom $x=\pm\sqrt{t}$ så är $x_1=-\sqrt{16-\sqrt{247}}$, $x_2=-\sqrt{16+\sqrt{247}}$, $x_3=\sqrt{16-\sqrt{247}}$ och $x_4=\sqrt{16+\sqrt{247}}$

Det är faktiskt möjligt att avgöra om en polynomekvation med heltalskoefficienter verkligen har heltalsrötter genom en prövning av ett ganska begränsat antal möjligheter.

Det kallas rationella rotsatsen.

I det här fallet ska en rationell rot $\frac{s}{t}$ uppfylla $s|9$ och $t|1$. Dessutom kan vi på grund av kvadraterna strunta i negativa möjligheter.

I det här fallet är därför heltalen 9,3 och 1 de enda möjliga rationella rötterna till ekvationen vi behöver pröva. Okulär inspektion gör klart att ingen av dem uppfyller ekvationen.

Alltså saknar ekvationen heltalslösningar. Faktum är att ekvationen saknar rationella rötter.

victoriagu skrev:

Hej, 

Tack för att ni försöker hjälpa mig. Det stämmer att det inte finns några heltalslösningar men jag har svårt att komma fram till det resultatet. 

Här är en Bild på uppgiften om det hjälper.

Finns det ett facit till uppgiften, och vad står det i facit?